لتكن a,b,c أطوال أضلاع مثلث تحقق a+b+c=1

[zouhirkas]

لتكن a,b,c أطوال أضلاع مثلث تحقق a+b+c=1
بين أن a²+b²+c²<1/2

[mathson]

لتكن a,b,c أطوال أضلاع مثلث تحقق a+b+c=1
بين أن a²+b²+c²<1/2

أعتقد أن هذا من النوع الذي يفضله ياسين، لكنه تركها، يبدو أنه مشغول بسبب الدراسة.

لنفرض أن a=x+y,b=y+z,c=x+z حيث x,y,z \in \mathbb{R}^+، فيكون الشرط المعطى هو x + y + z = \frac 12.

نعلم أن:
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + xz) < (x+y+z)^2 = \frac 14

بإضافة \frac 14 لكلا الطرفين نجد:
x^2 + y^2 + z^2 + (x+y+z)^2 < \frac 12

الآن، بإضافة x^2+y^2+z^2 ثم طرحها من الطرف الأيسر نجد:
2(x^2+y^2+z^2) + (x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2) < \frac 12

تحويل بسيط:
2(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+xz) < \frac 12

نقطة تحول مهمة :d:
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (x+z)^2 < \frac 12

وهي تكافئ:
a^2 + b^2 + c^2 < \frac 12

وهو المطلوب.

[فارس السنة]

حل جميل أخي ، أنا فكرت بطريقة مشابهة لتفكيرك وعوضت ذات التعويض و لكنني بدأت من الطرف الآخر ،، هذا هو حلي للفائدة:
لتكن a=x+y و b=y+z و c=z+x ، إذا المعطى هو x+y+z=0.5
بالتعويض في القيم للطرف الأيسر يكون لدينا:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0499653001242995761.png
وهو المطلوب..

[zouhirkas]

ياله من حل رائع
شكرا mathson ,فارس السنة

[mathson]

حل جميل أخي ، أنا فكرت بطريقة مشابهة لتفكيرك وعوضت ذات التعويض و لكنني بدأت من الطرف الآخر ،، هذا هو حلي للفائدة:
لتكن a=x+y و b=y+z و c=z+x ، إذا المعطى هو x+y+z=0.5
بالتعويض في القيم للطرف الأيسر يكون لدينا:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0499653001242995761.png
وهو المطلوب..

حركة مذهلة، ويعجبني بصراحة الحل الذي يمكن كتابته على سطر واحد :d .

[f-77]

حل رائع والغريب انه ظاهر عندي لاول مرة رغم انه مكتوب باستخدام مدرج الرموز
وربما لانها في تعبير واحد فقط

[اشرف محمد]

السلام عليكم

يمكن حلها ايضا باستخدام

صيغة هيرون لمساحة المثلث

\\S\ =\ \sqrt{r(r-a)(r-b)(r-c)}\\{}\\r\ =\ \frac{a+b+c}{2}\\{}\\r\ =\ \frac{1}{2}