معادلة ، متتابعة

[mathson]

أوجد جميع المتتابعات f(n) حيث
f[f[f(n)]] + f[f(n)] + f(n) =3n

[zouhirkas]

أوجد جميع المتتابعات f(n) حيث
f[f[f(n)]] + f[f(n)] + f(n) =3n

و هل تعني بالرمز [..........] الجزء الصحيح

[mathson]

و هل تعني بالرمز [..........] الجزء الصحيح

لا، إنما هو قوس عادي.

[zouhirkas]

نضع f(n)=n
ونبين بالترجع العلاقة

[waelalghamdi]

أوجد جميع المتتابعات f(n) حيث
f[f[f(n)]] + f[f(n)] + f(n) =3n

وجهة نظر ينقصها الكثير ، بس قلت خلنا نحطها :)

إذا كانت f دالة monotonic ، بوضع f(n) < n يكون :

L.H.S \;\; = f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) < 3n = \; \; R.H.S

وبوضع f(n) > n يكون :

L.H.S \;\; = f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) > 3n = \; \; R.H.S

ولكن f(n)=n يحقق المطلوب ، إذن هو الحل الوحيد في حالة f كانت monotonic ... يبقى إثبات أن f يجب أن تكون monotonic أو أنه لا يوجد دالة f غير monotonic تحقق المطلوب ...

~ والله أعلم ~

[mathson]

نضع f(n)=n
ونبين بالترجع العلاقة

وهل يكفي هذا، هذا ليس برهانا في الحقيقة، لأنه من الممكن أن يكون هناك دالة أخرى تحقق المطلوب.



وجهة نظر ينقصها الكثير ، بس قلت خلنا نحطها :)

إذا كانت f دالة monotonic ، بوضع f(n) < n يكون :

L.H.S \;\; = f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) < 3n = \; \; R.H.S

وبوضع f(n) > n يكون :

L.H.S \;\; = f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) > 3n = \; \; R.H.S

ولكن f(n)=n يحقق المطلوب ، إذن هو الحل الوحيد في حالة f كانت monotonic ... يبقى إثبات أن f يجب أن تكون monotonic أو أنه لا يوجد دالة f غير monotonic تحقق المطلوب ...

~ والله أعلم ~

فكرة جميلة أستاذ وائل، لدي سؤال حولها:
هل إثبات أن f(x) = f(y) \Rightarrow x=y تثبت أن الدالة f هي monotonic ؟ :d، فإن كان جوابك بنعم، فما رأيك بالفكرة البسيطة:

بداية لنفرض أن S(x) = f[f[f(x)]] + f[f(x)] + f(x)، الآن:
f(x) = f(y) \Rightarrow S(x) = S(y) \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow x=y

وما ما أردت إيضاحه.

بورك الفكر.

[waelalghamdi]

فكرة جميلة أستاذ وائل، لدي سؤال حولها:
هل إثبات أن f(x) = f(y) \Rightarrow x=y تثبت أن الدالة f هي monotonic ؟ :d، فإن كان جوابك بنعم، فما رأيك بالفكرة البسيطة:

بداية لنفرض أن S(x) = f[f[f(x)]] + f[f(x)] + f(x)، الآن:
f(x) = f(y) \Rightarrow S(x) = S(y) \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow x=y

وما ما أردت إيضاحه.

بورك الفكر.

أظن إثبات أن f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y هو إثبات أن الدالة one-to-one فقط :unknown: ...

[mathson]

[FONT="Traditional Arabic"]

[SIZE="5"][COLOR="Blue"]أظن إثبات أن f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y هو إثبات أن الدالة one-to-one فقط :unknown: ...

جميل، سأحاول تقريب فكرتي لعلها تصيب،

هل إذا كانت الدالة f هي one-to-one فهل تكون monotonic ؟

إذا كانت الدالة monotonic إذا كانت ليست تزايدية أو ليست تناقصية (واحد من اثنين ، ويحدث الإثنين إذا كانت الدالة صفرية أو ثابتة).

إذا كانت الدالة one-to-one فإنها دالة تزايدية أو تناقصية (واحد من اثنين فقط).

1) هل كلامي صحيح (تعريفات دون الدخول في التعقيد :d) ؟ :unknown:
2) هل تجد علاقة تربط بين المعنين ؟ :unknown:
3) إذا كانت الإجابتين : نعم، فهل برهاني صحيح ؟ :unknown:

والله أعلم.