اسئلة نااااار في الحلقات

[kameelia]

بسم الله الرحمن الرحيم

الله يوفقكم يااهل الرياضيات والجبر عندي كم سؤال عن الحلقات وياليت تجاوبون عليهم لان اختباري يوم السبت plzzzzz

1- اعط مثال عن حقل لانهائي مميزة عدد اولي؟
2- اثبت ان:
x,y]F]
حلقة غير رئيسة حيث Fحقل
(اعتبر المثالي (x)+(y) )
3-اثبت ان [Z[x
حلقة غير رئيسة "اعتبر المثالي ((2)+(x)) " وان نظرية خوارزمية القسمة ليست صحيحة عليها ايضا.
4- اثبت وبدون استخدام الحلقات الإقليدية ان: x]F]حلقة رئيسة حيثF حقل؟
الله يجزاكم خير حاولوا تجاوبوا لان عندي اختبار السبت
بانتظاااااااركم...

[kameelia]

ياناااااااااااااااس ياعاااااااااااااااااااااا ااااااالم يااهل الرياضياااااااااااااااااا ااااااااااات
وينكم؟؟؟؟؟؟؟

[أسامه رشوان]

حل سؤالك الأول

يوجد حقول لانهائية ذات مميز أولي أحدهم حقل الدوال الكسرية على
Z/pZ

وإن شاء الله سأحاول حل باقي أسئلة لكن سامحني لأن أولادي عندهم إمتحانات

[أسامه رشوان]

هذا جزء من سؤالك الثالث وسامحني لأن الترجمة بالعربي في هذ التخصص
تفرق في المعنى لذا السؤال بالإنجليزية وإجابته

prove that Z[x] is not principle ideal domain????????

الجواب
Consider the set S of all polynomials in Z[x] whose constant term is even.

Check that S is an ideal. This is a pretty straightforward exercise in the definitions. (If you have theorems around, you could do it less directly: it's the inverse image of an ideal [the even integers] under a ring homomorphism [namely, the homomorphism Z[x] -> Z given by evaluating at 0], and any set of this form is necessarily an ideal.)

To see that S is not principal, suppose it were, and that p is a generator for S. Thus

S = {p(x) q(x): q(x) in Z[x]}.

If p(x) had a nonzero degree d, then every nonzero polynomial of the form p(x) q(x) would have degree at least d. Since S contains nonzero constant polynomials (e.g. 2) we conclude that p(x) cannot have nonzero degree. Thus p(x) is a constant k.

We cannot have k = 0 (because S is not {0}), nor k = 1 or -1 (because S is not Z[x]). If we had another k that did the job, we would conclude that the coefficients of every element of S had a number |k| > 1 as a common divisor. But x + 2 (for example) is a polynomial whose coefficients (1 and 2) have no common divisors of this form

[kameelia]

حل سؤالك الأول

يوجد حقول لانهائية ذات مميز أولي أحدهم حقل الدوال الكسرية على
Z/pZ

وإن شاء الله سأحاول حل باقي أسئلة لكن سامحني لأن أولادي عندهم إمتحانات

بارك الله فيك يا استاذ وان شاءالله اولادك ينجحوا بتفوق يارب,
لكن اذا ممكن توضح لي اكثر المثال (يوجد حقول لانهائية ذات مميز أولي أحدهم حقل الدوال الكسرية على
Z/pZ )

[kameelia]

هذا جزء من سؤالك الثالث وسامحني لأن الترجمة بالعربي في هذ التخصص
تفرق في المعنى لذا السؤال بالإنجليزية وإجابته

prove that z[x] is not principle ideal domain????????

الجواب
consider the set s of all polynomials in z[x] whose constant term is even.

Check that s is an ideal. This is a pretty straightforward exercise in the definitions. (if you have theorems around, you could do it less directly: It's the inverse image of an ideal [the even integers] under a ring homomorphism [namely, the homomorphism z[x] -> z given by evaluating at 0], and any set of this form is necessarily an ideal.)

to see that s is not principal, suppose it were, and that p is a generator for s. Thus

s = {p(x) q(x): Q(x) in z[x]}.

If p(x) had a nonzero degree d, then every nonzero polynomial of the form p(x) q(x) would have degree at least d. Since s contains nonzero constant polynomials (e.g. 2) we conclude that p(x) cannot have nonzero degree. Thus p(x) is a constant k.

We cannot have k = 0 (because s is not {0}), nor k = 1 or -1 (because s is not z[x]). If we had another k that did the job, we would conclude that the coefficients of every element of s had a number |k| > 1 as a common divisor. But x + 2 (for example) is a polynomial whose coefficients (1 and 2) have no common divisors of this form

الف شكررررر لكـ
وبانتظااااااااااااااار باقي الاجوبة