بين أن .............

[zouhirkas]

بين أن
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0046533001242813963.png
لكل n من N

[Sadiq Al-Ali]

بين أن
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0046533001242813963.png
لكل n من N

السلام عليكم

محاولة على عجالة أستاذ zouhirkas :wave:

بإمكاننا أن نحول صيغة السؤال إلى صيغة أخرى مكافئة له :d
وهي:
أثبت أن (5ن^7 + 7ن^5 + 23ن) يقبل القسمة على 35
الحل:
سنثبت بداية أن المقدار يقبل القسمة على 5 ومن ثم على 7 وبالتالي على 35

(5 مود) ب = ن
نلاحظ أن جميع القيم الممكنة لـ ب هي: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4
وبالتالي فإن باقي قسمة (23ن) على 5 تأخذ احد الاحتمالات التالية:
0 ، 3، 1، 4، 2((على التوالي))
باقي قسمة (7ن^5) على 5 يأخذ أحد الاحتمالات التالية ((على الترتيب)):
0 ، 2 ، 4 ، 1 ، 3
باقي قسمة (5ن^7) على 5 هو 0
بجمع البواقي السابقة نجد أنها تساوي على الترتيب السابق:
5 ، 5 ، 5 ، 5 ، 5
أي أنه يقبل القسمة على الـ 5
بمثل الأسلوب نجد أن باقي قسمة (23ن) على 7 له أحد الاحتمالات التالية:
0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 1 ، 3 ، 5
باقي قسمة (7ن^5) على 7 هو 0
باقي قسمة (5ن^7) على 7 له أحد الاحتمالات التالية:
0 ، 5 ، 3 ، 1 ، 6 ، 4 ، 2
وبالتالي فإن مجموع البواقي على الترتيب هو:
7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7

أي أن المقدار كاملا يقبل القسمة على 7
من هنا نجد أنه يقبل القسمة على 35

-والله أعلم-

[mathson]

السلام عليكم

محاولة على عجالة أستاذ zouhirkas :wave:

بإمكاننا أن نحول صيغة السؤال إلى صيغة أخرى مكافئة له :d
وهي:
أثبت أن (5ن^7 + 7ن^5 + 23ن) يقبل القسمة على 35


جميل أستاذ صادق، دعني أكمل من هنا بحل آخر:

يمكن تحويل المسألة إلى: أثبت أن 35 \mid S_n = n(5n^6 + 7n^4 + 23)

يكفي التأكد أن المقدار يقبل القسمة على 7 ثم على 5.

المقدار يقبل القسمة على 7:

لاحظ أنه إذا كان 7 \mid n فإن 7 \mid S_n.
إذا كان غير ذلك، فمن نظرية فيرما
5n^6 + 7n^4 + 23 \equiv 5 \times 1 + 0 + 23 \equiv 0 \pmod 7.

وينتج المطلوب.

المقدار يقبل القسمة على 5:

بالطريقة نفسها.

بالتالي يقبل القسمة على 35.