طلب : سؤالين في الزمر الدائرية

[ندوش]

عندي سؤالين الله يجزاه الجنة اللي يحلها لي
1)السؤال هو:ناقشي العبارة التاليه(اي اثبتي)
الشرط اللازم والكافي لتكون الزمرة G زمرة دائرية هو ان تكون رتبتها عدد أولي...
2)اذا كانت G زمرة دائرية رتبتها عدد اولي فإنه يوجد لها زمرتين جزئيتين ما هما؟؟
وبس:ty:

[maths]

اجابة السؤال الثاني الزمرتين الجزئيتين هما الزمرة التافهة {0} trivial group والزمرة نفسها < p > ...

[maths]

السؤال الثاني يمكن حله من خلال اثبات ان الزمرة الدائرية cyclic group is isomorphic to U (p) such that U ( p) is the set of all positive integers less than or equal p and relatively prime with p

note that p is aprime number

[أسامه رشوان]

السلام عليكم ورحمة الله وبركات أرسل ندوش لي وأرسلت له الإجابة برسالة خاصة ولعموم الفائدة وضعتها للجميع بقسم الجبر العالي لعلها تفيد

[1)الشرط اللازم والكافي لتكون الزمرة G زمرة دائرية هو ان تكون رتبتها عدد أولي...؟؟

بفرض أن G زمرة رتبتها عدد أولي فلإثبات أن الزمرة دائرية لابد من وجود عنصر مولد لها وهذا العنصر بالتأكيد أحد عناصرها. وحيث أن رتبة العنصر وليكن x تقسم رتبة الزمرة G والتي فرضنا بداية أن رتبتها عدد أولي وعليه فإن رتبة أى عنصر لابد أن تكون مساوة لرتبة الزمرة G (العدد الأولي)
مما سبق ينتج أن العنصر x هو مولد للزمرة G وبالتالي فهي زمرة دائرية.



2)اذا كانت G زمرة دائرية رتبتها عدد اولي فإنه يوجد لها زمرتين جزئيتين ما هما؟؟

وفقا لنظرية لاجرانج فإن رتبة أى زمرة جزئية من G تقسم رتبة G وكذلك من كون أن أي زمرة جزئية من زمرة دائرية تكون دائرية.
وحيث أن G زمرة دائرية رتبتها عدد اولي فإن هناك إحتمال واحد فقط هو وجود زمرتين جزئيتين الأولى تحوي العنصر المحايد للزمرة G والثانية هى G نفسها.

مع تمنياتي لكم جميعا بالتوفيق

د. أسامه رشوان

[ندوش]

مشكورين الله يجزاكم خير