أثبت عدم وجود حل

[mathson]

من الأستاذ كوشي: برهن أن المعادلة التالية لا تقبل حلا في \mathbb{Z}^+:

\underbrace{\sqrt{n +\sqrt {n +\sqrt {n +\ldots +\sqrt n}}}}_{2009} = 2009

ويمكن تعميمها: إذا كان n, m \in \mathbb{Z}^+ فبرهن أن المعادلة:

\underbrace{\sqrt{n +\sqrt {n +\sqrt {n +\ldots +\sqrt n}}}}_{2009} = m

لا تقبل حلا أبدا.

[ياسين]

السلام عليكم

هل تقصد في التانية ان عدد الجدور يتكرر m مرة ’؟

[mathson]

السلام عليكم

هل تقصد في التانية ان عدد الجدور يتكرر m مرة ’؟

لا، أقصد 2009 مرة (ويمكن تعميمها أيضا لتصبح )


ويمكن تعميمها: إذا كان n, m, p \in \mathbb{Z}^+ بحيث p \ge 2 فبرهن أن المعادلة:

\underbrace{\sqrt{n +\sqrt {n +\sqrt {n +\ldots +\sqrt n}}}}_{p} = m

لا تقبل حلا أبدا.