متفاوتة من النوع الجيد

[mathson]

هذا النوع من المتفاوتات مفضل عند الكل :d
إذا كان a,b,c أعداد حقيقة موجبة تحقق abc=1، برهن ان

\frac{b+c}{\sqrt a} + \frac{c+a}{\sqrt b} + \frac{a+b}{\sqrt c} \ge \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c + 3

[zouhirkas]

لدينا

\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}} وكدالك الأطرف الأخرى
\frac{a+c}{\sqrt{b}}\ge 2\sqrt{\frac{ac}{a}}
و\frac{b+a}{\sqrt{c}}\ge 2\sqrt{\frac{ba}{c}}بجمع الأطراف نجد الأطراف اليمنى نجد
\ge 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[6]{{abc}}

ويسهل الإستنتاج عدرا لعدم كتابتها في الموضوع