متفاوتة بسيييييييطة..

[فارس السنة]

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0093425001243021933.png


أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة :wave:

[mathson]

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0292260001243019060.png

أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة :wave:

بداية قوية فارس السنة، لكنني أرى أنها غير صحيحة ؟؟ جرب n=2, x_1 = 3 , x_2 = 4 .

[فارس السنة]

رائع جدا أخي ،، الحقيقة أنني قد سهوت عن الشرط الثاني : n>2
حاول معها الآن..

[mathson]

رائع جدا أخي ،، الحقيقة أنني قد سهوت عن الشرط الثاني : n>2
حاول معها الآن..

مرة أخرى جرب n=3, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3 :d .

[فارس السنة]

علمت ما الخطأ ، إنه إشارات الجمع في الطرف الأيسر فالسؤال هو حاصل ضرب الأعداد في اليسار،
سأصححه الآن.. أعتذر لذلك فهذا دليل على الخبرة المعدومة * . *

[فارس السنة]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0093425001243021933.png

[mathson]

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0093425001243021933.png


أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة :wave:

إليك الحل:
لنفرض أن f(a) = a\ln a، واضح أنها دالة محدبة، بالتالي من نظرية جينسن نجد:

\Large f(x_1) + \cdots + f(x_n) \ge n f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right)

أو بصيغة أخرى:

\Large x_1 \ln x_1 + \cdots + x_n \ln x_n \ge n\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right ) \ln \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right ) = \left(x_1 + \cdots + x_n \right ) \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right )

من خواص اللوغارتمات:

\Large \ln \left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right ) \ge \ln \left[\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right )^{\left(x_1 + \cdots + x_n \right )} \right]

ومنه ينتج مباشرة:

\Large\left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right )^{\frac{1}{x_1 + \cdots + x_n}} \ge \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}

وهو المطلوب.

أعتقد أنه يمكن حصر الطرف الايسر أيضا:

\Large \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} \ge \left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right )^{\frac{1}{x_1 + \cdots + x_n}} \ge \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}