n معادلة

[mathson]

أوجد حلول المعادلة
\[ x_{1}(6-x_{2})=9,\quad x_{2}(6-x_{3})=9,\quad\ldots\quad ,x_{n}(6-x_{1})=9 \]

حيث n عدد صحيح أكبر أو يساوي 2، x_1, \ldots , x_n \in \mathbb{R}^+ .

[zouhirkas]

إن هدا النوع من التمارين مفضل لدي
نضع X_i=x_i-3\ \ \forall {i} \in \ {1,2,\cdots,n\}
إدن x_i=3+X_i et 6-x_i=6-X_i-3=3-Xi \ \ \forall { i} \in \{1,2,\cdots,n\}
ومنه فإن المعادلات تكتب على الشكل التالي
(3+X_1)(3-X_2)=9
(3+X_2)(3-X_3)=9
(3+X_3)(3-X_4)=9
...
(3+X_{n-1})(3-X_n)=9
(3+X_n)(3-X_1)=9
من (3+X_k)(3-X_{k+1})=9 نستنتج أن X_{k+1}=3-\frac{9}{3+X_k}=\frac{3X_k}{3+X_k}
و من هدا المنطلق نستنتج
X_2=\frac{3X_1}{3+X_1}

X_3=\frac{3X_2}{3+X_2}=\frac{3\frac{3X_1}{3+X_1}}{ 3+\frac{3X_1}{3+X_1}}=\frac{9X_1}{9+6X_1}=\frac{3X _1}{3+2X_1}
ومنه X_{1}=\frac{3X_1}{3+nX_1}
X_1=0
أيX_2=X_3=\cdots =X_n=0:t:
وأخيرا الحل الوحيد هو x_i=3 \ \ \forall i




لقد أخد مني الكتابة باللاتيك ساعة ونصف تقريبا

[mathson]

أشكرك أخي زهير على هذا الحل الرائع. هناك أيضا حل آخر يعتمد على متفاوتة الوسط الحسابي و الوسط الهندسي.