متفاوتة مع بسط يساوي 2 :)

[mathson]

إذا كان a,b,c>0 تحقق abc=1 فبرهن أن:

\frac{2}{a^{5}(b^{3}+c^{3})}+\frac{2}{b^{5}(c^{3}+ a^{3})}+\frac{2}{c^{5}(a^{3}+b^{3})}\ge 3

من مسائل alex.

[zouhirkas]

متفاوتة شهيرة سأدع الرفاق يشاركون

[mathson]

متفاوتة شهيرة سأدع الرفاق يشاركون

أظن أن المسألة أخذت أكثر من وقتها، وهي بالفعل مسألة مشهورة، فهلا وضعت حلك؟

[zouhirkas]

حسب المتوسط لدينا
أنظر المشاركة اللاحقة\ge 3(\frac{1}{(a^5b^5c^5})(a^3+b^3)(a^3+c^3)(b^3+c^3) ^{\frac{1}{3}

=\frac{3}{2}(\frac{2}{a^3+b^3}\frac{2}{a^3+c^3}\fr ac{2}{b^3+c^3})
لكي نبين المطلوب يكفي أن نبين
\frac{2}{(b^3+c^3)}\frac{2}{(a^3+c^3)}\frac{2}{(b^ 3+c^3)}\ge{1}

لأن :
ln(\frac{a^3+b3}{2})+ln(\frac{a^3+c3}{2})+ln(\frac {b^3+c3}{2})\ge ln(a^3)+ln(b^3)+ln(c^3) \ge 0
والأن مسألة إستنتاج فقط

[zouhirkas]

حسب المتوسط لدينا
\ge 3\frac{1}{(\frac{1}{(a^5b^5c^5})(a^3+b^3)(a^3+c^3) (b^3+c^3)}^{\frac{1}{3}

=\frac{3}{2}(\frac{2}{a^3+b^3}\frac{2}{a^3+c^3}\fr ac{2}{b^3+c^3})
لكي نبين المطلوب يكفي أن نبين
\frac{2}{(b^3+c^3)}\frac{2}{(a^3+c^3)}\frac{2}{(b^ 3+c^3)}\ge{1}

و هده الأخيرة صحيحة لأن :
ln(\frac{a^3+b3}{2})+ln(\frac{a^3+c3}{2})+ln(\frac {b^3+c3}{2})\ge ln(a^3)+ln(b^3)+ln(c^3) \ge 0
والأن المسألة مسألة إستنتاج فقط