معادلات Canada

[mathson]

حل النظام.

\Huge \left\{\begin{array}{c}\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}= y\\ \\ \frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}= z\\ \\ \frac{4z^{2}}{1+4z^{2}}= x\end{array}\right.

[Frechet]

لها 9 حلول من بينها
(r,r,r) بحيث

r\in \{0,\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}\}

[Frechet]

لها 9 حلول من بينها
(r,r,r) بحيث

r\in \{0,\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}\}

سيكون عدد الحلول 18 (عسى ما أخطأت هذه المرة) من بينها

r=0 , \qquad r=\frac{1}{2}
وليس r=\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}

حتى نستخرج الحلول نحسب Grobner basis
(العملية معقدة نسبياً )
أنتظر مشاركات الإخوان :h:

[mathson]

سيكون عدد الحلول 18 (عسى ما أخطأت هذه المرة) من بينها

r=0 , \qquad r=\frac{1}{2}
وليس r=\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}

حتى نستخرج الحلول نحسب Grobner basis
(العملية معقدة نسبياً )
أنتظر مشاركات الإخوان :h:

أعتقد أن هناك حلين فقط (0,0,0),(\frac 12, \frac 12, \frac 12).

[اشرف محمد]

السلام عليكم

اخى حسين هذا النوع يسمى بالمعادلات المتماثلة

وهو نوع فيه الحلول متساوية لجميع القيم

وبالتالى من الممكن استبدال المجاهيل بمجهول واحد والحل بسهولة

لكن اعتقد هذه الطريقة لن تعجبك رغم انها معتبرة

واليك اخري

\Huge \frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}= y\\ \\ \frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}= z\\ \\ \frac{4z^{2}}{1+4z^{2}}= x.

دعنا نضرب المعادلات الثلاثة

\Huge \frac{64x^{2}y^2z^2}{(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2} )}= xyz


طبعا قبل اختزال س ص ع من الطرفين نبحث عن تحقيق المعادلة

بسهولة نجد س = ص = ع = 0 حل

نختزل بعد ذلك س ص ع بفرض انها لا تساوى الصفر

\Huge(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2})=64xyz.....(1)

نعلم ان الوسط الحسابى لكميتين موجبتين اكبر من الهندسى

ويحدث التساوى فقط في حالة تساوى الكميتين

\Huge1+4x^{2}\geq 4x

وبالمثل يمكن تكرار ذلك مع باقي القيم

نضرب النواتج

\Huge(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2})\geq 64xyz.....(2)

ولكن من 1 العلاقة علاقة تساوى

اذن

\Huge 1=4x^{2}

\Huge x=\frac{1}{2}

والقيمة السالبة مرفوضة واترك لك التفسير

\Huge x=y=z=\frac{1}{2}

\Huge x=y=z=0

[Frechet]

الحقيقة أن عدد الحلول هو 8 . إذا كنت من هواة MATLAB فاستخدم الأمر
A=solve('4*X^2-4*X^2*Y-Y=0','4*Y^2-4*Y^2*Z-Z=0','4*Z^2-4*Z^2*X-X=0');

قيم x و y و z تظهر بواسطة الأمر
A.X
A.Y
A.Z
كل متجه مكون من 8 عناصر
خذ الأول من كل متجه لتحصل على (0,0,0)
والثاني من كل متجه لتحصل على (.5,.5,.5)

..... وهكذا

قد يسأل سائل ماذا لو أخذت الأول مع الخامس مع الثالث هل سيكون حلا. الجواب: ربما. في هذه المسألة جربت جميع الخيارات ولم أجد إلا الحلول الثمانية كما وصفت أعلاه.

[mathson]

السلام عليكم

اخى حسين هذا النوع يسمى بالمعادلات المتماثلة

وهو نوع فيه الحلول متساوية لجميع القيم

وبالتالى من الممكن استبدال المجاهيل بمجهول واحد والحل بسهولة

لكن اعتقد هذه الطريقة لن تعجبك رغم انها معتبرة

واليك اخري

\huge \frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}= y\\ \\ \frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}= z\\ \\ \frac{4z^{2}}{1+4z^{2}}= x.

دعنا نضرب المعادلات الثلاثة

\huge \frac{64x^{2}y^2z^2}{(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2} )}= xyz


طبعا قبل اختزال س ص ع من الطرفين نبحث عن تحقيق المعادلة

بسهولة نجد س = ص = ع = 0 حل

نختزل بعد ذلك س ص ع بفرض انها لا تساوى الصفر

\huge(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2})=64xyz.....(1)

نعلم ان الوسط الحسابى لكميتين موجبتين اكبر من الهندسى

ويحدث التساوى فقط في حالة تساوى الكميتين

\huge1+4x^{2}\geq 4x

وبالمثل يمكن تكرار ذلك مع باقي القيم

نضرب النواتج

\huge(1+4x^{2})(1+4y^{2})(1+4z^{2})\geq 64xyz.....(2)

ولكن من 1 العلاقة علاقة تساوى

اذن

\huge 1=4x^{2}

\huge x=\frac{1}{2}

والقيمة السالبة مرفوضة واترك لك التفسير

\huge x=y=z=\frac{1}{2}

\huge x=y=z=0



بارك الله فيك، هذه بالفعل الطريقة النموذجية.

(ملاحظة: كان من الأفضل ذكر آن الأعداد ليست سالبة من البداية لأن متفاوتة المتوسط الحسابي و المتوسط الهندسي لا يمكن استخدامها للأعداد السالبة)

بورك الفكر.

[اشرف محمد]

نعم اخى حسين احسنت

لكن من البداية س = كمية مربعة على مجموع كميتين مربعتين

اذن س =0 او موجبة

شكرا لك

ايها المبدع الكبير

[Frechet]

لا حظوا يا إخوان ننا لو عوضنا من الأولى في الثانية ثم من بعد ذللك من الثاتية في الثالثة نحصل على معادلة من الدرجة الثامنة في متغير واحد هو x

[mathson]

بارك الله فيك أستاذ أشرف، يبدو أني سهوت قليلا :d

أستاذ Frechet، أعتقد أن الحلول الأخرى إما أن تكون غير حقيقية أو مكررة، كما أود شكرك لأنك نبهتني أن أضع "أوجد الحلول الحقيقية للنظام"، شكراً لك.

[zouhirkas]

أضن أنني وجدت طريقة سهلة
x + y + z = \frac{4x^2}{1+4x^2} + \frac{4y^2}{1+4y^2} + \frac{4z^2}{1+4z^2} \Leftrightarrow \frac{x(2x-1)^2}{1+4x^2} + \frac{y(2y-1)^2}{1+4y^2} + \frac{z(2z-1)^2}{1+4z^2} = 0

و يبقى فقط الإستنتاج

[مجدى الصفتى]

http://www.arabruss.com/uploaded/4323/100114.jpg

[مجدى الصفتى]

حل آخر
http://www.arabruss.com/uploaded/4323/100115(1).jpg