حل في .....

[zouhirkas]

حل في \mathbb{N}^4 : 4^x + 4^y + 4^z = u^2

[mathson]

حل في \mathbb{N}^4 : 4^x + 4^y + 4^z = u^2

عدد الحلول لا نهائي بوضع (x,y,z) = (x,x,x-1) و تباديلها.

[zouhirkas]

لو أردت الجواب النهائي لأدهرته مند البداية الطريقة هي الطلوبة وإجابتك ناقصة لأن المطلوب إيجاد أربعة حلول لا ثلاثة وحتى ولو كانو بالإدراك

[mathson]

حل في \mathbb{N}^4 : 4^x + 4^y + 4^z = u^2

بدون فقد لعمومية المسألة، نفرض أن x \ge y \ge z، بالتالي:

4^x + 4^y + 4^z = 4^z(4^{x-z} + 4^{y-z}+1) = 4^z(4^a + 4^b + 1)

حيث (a, b) = (x-z, y-z)، لكن 4^z مربع كامل، هذا يستلزم أن يكون 4^a + 4^b + 1 مربع كامل أيضا، بوضع (a,b)=(1+n, 1+2n), n \in \mathbb{N}_0 نجد أنها تحقق المطلوب و كذلك تبديلها (من السهل التحقق من هذا)، بالتالي يمكن صياغة مجموعة الحل بشكل معمم.
(x,y,z) = (1+n + z, 1+2n + z, z)
وتباديلها(قيمة u سهلة الإستنتاج).