اثبت ان المقدار ينتمي الى ص +

[maths]

http://www.arabruss.com/uploaded/11852/1244318353.jpg

[محمد أبو صوان]

http://www.arabruss.com/uploaded/11852/1244318353.jpg
السلام عليكم

http://www.arabruss.com/uploaded/59989/1244326641.gif

[mohsen ghareeb]

http://www.arabruss.com/uploaded/11852/1244318353.jpg


السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لإثبات صحة هذه العبارة بالاستقراء الرياضى يجب تحقق أمرين هما:
1) اثبات صحة العلاقة عندما ن = 1 وهذا متحقق
2) اثبات أنه إذا كانت العلاقة صحيحة عندما ن = ر فإنها صحيحة أيضاً عندما ن = ر+1 وهذا ماسنثبته بإذن الله
نفرض صحة العلاقة عندما ن = ر
أى أن المقدار (5^ر - 2^ر) يقبل القسمة على 3
إذن (5^ر - 2^ر) = 3ك (حيث ك عدد صحيح موجب)
ومنه 5^ر = 2^ر + 3ك
والآن المطلوب اثباته هو أن 5^(ر+1) - 2^(ر+1) يقبل القسمة على 3
5^(ر+1) - 2^(ر+1)
= 5^ر × 5 - 2^ر × 2
=(2^ر+3ك)×5 - 2^ر ×2
=2^ر ×5 + 15ك - 2^ر ×2
= 2^ر × 3 +15ك
= 3(2^ر + 5ك)
أى يقبل القسمة على 3
إذن العبارة صحيحة لتحقق (1) ، (2)

[البرهان]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لإثبات صحة هذه العبارة بالاستقراء الرياضى يجب تحقق أمرين هما:
1) اثبات صحة العلاقة عندما ن = 1 وهذا متحقق
2) اثبات أنه إذا كانت العلاقة صحيحة عندما ن = ر فإنها صحيحة أيضاً عندما ن = ر+1 وهذا ماسنثبته بإذن الله
نفرض صحة العلاقة عندما ن = ر
أى أن المقدار (5^ر - 2^ر) يقبل القسمة على 3
إذن (5^ر - 2^ر) = 3ك (حيث ك عدد صحيح موجب)
ومنه 5^ر = 2^ر + 3ك
والآن المطلوب اثباته هو أن 5^(ر+1) - 2^(ر+1) يقبل القسمة على 3
5^(ر+1) - 2^(ر+1)
= 5^ر × 5 - 2^ر × 2
=(2^ر+3ك)×5 - 2^ر ×2
=2^ر ×5 + 15ك - 2^ر ×2
= 2^ر × 3 +15ك
= 3(2^ر + 5ك)
أى يقبل القسمة على 3
إذن العبارة صحيحة لتحقق (1) ، (2)
بالنسبة للبرهان الخاص بأستاذنا الفاضل محسن غريب فأنا أعتقد أنه ليس صوابا لأن المطلوب ليس هو قابلية القسمة ......
أو لأننا أضفنا شرطا من عندنا وهو ك عدد صحيح موجب
أرجو المناقشة والتوضيح ....... ربما إلتبس على الأمر

[maths]

لكن اذا اثبتنا انه يقبل القسمة على 3 نكون قد اثبتنا انه ينتمي للاعداد الصحيحة .