برهـــن

[محمد أبو صوان]

إذا كان ط عدداً صحيحاً ، وكان 2 لايقسم ط وكذلك 3 لايقسم ط
فبرهن أن 24 يقسم ( ط^2 - 1)

[mmmyyy]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

هل (ط) عدد صحيح موجب؟ أم من الجائز يكون سالب أيضًا؟

[mathson]

إذا كان ط عدداً صحيحاً ، وكان 2 لايقسم ط وكذلك 3 لايقسم ط
فبرهن أن 24 يقسم ( ط^2 - 1)

المقدار يمكن ان يكتب على الشكل (ط-1)(ط+1)
احد القوسين يقبل القسمة على 2 و الآخر على 4.
احدهما يقبل القسمة على 3.
بالتالي ط^2-1 يقبل القسمة على 24.
(المطلوب صحيح عند الاعداد الموجبة و السالبة)

[محمد أبو صوان]

شكراً أخي /mathson
على هذا الحل مع أنني أرى أنه بحاجة إلى شيئ من التفصيل

[mmmyyy]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

هل يمكن الحل على النحو التالي؟

لكل عدد طبيعي م فإن: ط = 6م +/- 1

إذن ط^2 - 1 = 36م^2 +/- 12م +1 -1 = 12م(3م +/- 1)

إذا كان م عدد زوجي أي م = 2ن، حيث ن عدد طبيعي ... فإن:

ط^2 - 1 = 24ن(6ن +/- 1)

إذا كان م عدد فردي أي م = 2ن + 1 حيث ن عدد طبيعي فإن:

ط^2 - 1 = 12(2ن + 1)(6ن + 3 +/- 1) ومنها

ط^2 - 1 = 12(2ن + 1)(6ن + 4)= 24(2ن + 1)(3ن + 2)

أو ط^2 - 1 = 12(2ن + 1)(6ن + 2) = 24(2ن + 1)(3ن + 1)

[محمد أبو صوان]

حل جميل أخي / محمد يوسف
مع ملاحظة أن م عدد صحيح موجب أو سالب

[mathson]

شكراً أخي /mathson
على هذا الحل مع أنني أرى أنه بحاجة إلى شيئ من التفصيل

لا مشكله، نفصل.

المقدار يساوي (ط-1)(ط+1) باستخدام متطابقة الفرق بين مربعين.

بما أن ط عدد فردي (لا يقبل القسمة على 2) بالتالي فإن كلا القوسين عددان زوجيان، بكلام أكثر دقة، عددان زوجيان متتاليان، بالتالي فإن أحدهما يقبل القسمة على 2 (أعلى أس = 1) و الآخر على 4 (أعلى أس = 2)، بالتالي فإن المقدار يقبل القسمة على 8 <<<<(1)

نعلم أن في الأعداد الثلاث المتتالية (ط-1) ، ط ، (ط+1) يوجد عدد يقبل القسمة على 3، لكنه حسب المعطى ليس ط، بالتالي فإن أحد العددين (ط-1)، (ط+1) يقبل القسمة على 3، وهذا يعني أن المقدار يقبل القسمة على 3 <<<<(2)

من (1) ، (2) و لأن 8،3 عددين أوليين فيما بينهما، نجد أن المقدار ط^2-1 يقبل القسمة على 24 = 8*3.