بعض أساسيات في المعادلات الدالية

[zouhirkas]

بسم الله
المعدلات الدالية التي ليست معرفة عند الصفر

تستعمل فيها نفس الطريقة ولكن هده المرة بالبحث عن قيمة f(1)
ودالك من أجل التبسيط

ملاحظة

غالبا ما تجد f(1)=1أوf(1)=0

مثال

حدد جميع الدوال الحقيقية الموجبة قطعا من مجموعة إنطلاقها
و التي تحقق f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}
لكل عددين حقيقيين x و y موجبين قطعا

الجواب

بأخد y=1

نجد f(x)f(1)=f(x)+\frac{1}{x}+1

لكل x غير منعدم

مرة أخرى نأخد x=1نجد

f(1)^2-f(1)=2

إدن f(1)=-1أوf(1)=2

f(1)\neq 1 عوض وسترى
إدن f(x)=\frac{1}{1-f(1)}\bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)

وفي حالة f(1)=2

وبالتعويض المباشر في العلاقة نجد

f(x)=x+\frac{1}{x} هي الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب

[zouhirkas]

بسم الله
أختم وإياكم هدا الموضوع بمعادلة دالية عشوائية
__________________________________________________ _____________________
حدد جميع الدوال التي تحقق
\forall x,y,z\in\mathbb{R}f(x^3+y^3+z^3)=3f(xyz)
__________________________________________________ _____________________
ملاحظة
أغلب هده المواضيع مأخودة من أولمبياد المغرب