أولمبياد الدولية 2009 باللغة الفرنسية

[zouhirkas]

أولمبياد الدولية 2009



http://img515.imageshack.us/img515/5913/ccf2303200900000.jpg
إن شاء الله سأقوم بترجمتها إلى العربية
إنها كانت سهلة بالنسبة للسنوات السابقة

[zouhirkas]

الهدف من التمرين هو إيجاد جميع الدوال المعرفة على \mathbb{R} و التي تحقق في المجال [-1.1] f(2x)=2f(x)^2-1بحيث f(0)=1و\frac{1-f(x)}{x^2} لديه نهاية عند ما xتؤول إلى الصفر التي نحددها بa
ندكر بكل xمن المجال [-1,1] تكتب على شكل واحد x=cos(\alpha)مع \alphaمن المجال [0,\pi]
1) (a) تحقق \lim_{\alpha \to 0}\frac{1-cos(\alpha)}{\alpha^2}=\frac{1}{2}(يمكن إستعمال علاقة تعطيcos(2r)

(b) بين أن لكل \alpha من المجال [0,\frac{\pi}{2}]
لدينا العلاقة :sin(\alpha)\ge \frac{2\alpha}{\pi} وcos(\alpha)\le 1-\frac{\alpha^2}{\pi}
2) لتكن f دالة تحقق المطلوب
نعطي لكل x حقيقي و n
صحيح (a)
f(\frac{x}{2^n})=cos(\alpha_n)مع
\alpha_n من المجال [0,\pi]
بين أن f متصلة في 0 و\lim_{n \to \infty}\alpha_n=0
(b) بين أنه يوجد N بحيث لكل
n \ge N لدينا \alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n}{2}
إستنتج أن a موجب وf(x)=cos(x\sqrt{2a})