تطابق مثلثات

[المرقال]

هل يتطابق المثلثان إذا تطابق ضلعان وزاوية من أحدهما مع ضلعين وزاوية من الآخر حتى لو لم تكن الزاوية محصورة ؟ أرجو الاثبات .

[arc]

هذا الكلام صحيح فقط في المثلث القائم
أما في غير القائم فهو خاطئ
و القضية الخاطئة أخي الكريم لاتحتاج إثبات خطأ بل تحتاج مثال معاكس واحد على الأقل
و يمكنك الحصول على عشرات الأمثلة المعاكسة بالرسو و الانشاء الهندسي

[f-77]

هل يتطابق المثلثان إذا تطابق ضلعان وزاوية من أحدهما مع ضلعين وزاوية من الآخر حتى لو لم تكن الزاوية محصورة ؟ أرجو الاثبات .

يتطابق مثلثان إذا تطابق ضلعان وزاوية غير محصورة من أحدهما مع مقابلاتها من الآخر في حال الزاوية قائمة او منفرجة فقط ولاتصح في حالة الزاوية الحادة حيث يمكن وجود مثلثين غير متطابقين رغم تحقق الشرط السابق بهما

ساحاول البحث عن الرابط الذي به الصور التوضيحية

[أحمد سعد الدين]

دراسة حالة تطابق مثلثين
بمعلومية
ضلعان وزاوية غير محصورة


من المعلوم لتطابق مثلثين - أو إنشاء مثلث محدد وحيد - يلزم معلومية عناصر أحد الشروط التالية :

1 - أطوال الأضلاع الثلاث (SSS)
2 - زاويتين وضلع محصور بينهما (ASA)
3 - ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS)
وفى حالة المثلث القائم الزاوية :
طول الوتر وأحد الأضلاع فقط - وهى حالة خاصة

وتوجد حالة رابعة بحثها الرياضيون - بمعلومية زاوية وضلعين غير محصورين للزاوية SSA - وأسموها الحالة الغامضة ambiguous case ، وهى الحالة المطلوب تداولها بالنقاش

وهذه الحالة لا تعطى فى جميع الأحوال مثلث وحيد يمكن تحديده دائما - وبالتالى عدم تطابق المثلثين فى جميع الأحوال

وتعتمد هذه الحالة على نوع الزاوية المعلومة ، ونسبة طولى الضلعين المعلومين بالنسبة لبعضهما

ويعتمد الحل فى إيجاد المثلث على قانون الجيب للمثلث كحل وحيد

وسنستخدم القانون : جاأ = (ب ج/أ ج). جاب

أولا : فى حالة أن الزاوية المعلومة " حادة " أصغر من 90 درجة ، وتتضمن 5 حالات :

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_ambiguous case1.JPG


1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر كثيرا من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب > 1
وفى هذه الحالة لا يمكن إنشاء المثلث لأنه لا توجد زاوية جيبها > 1
وبالتالى عدم تطابقه مع المثلث الآخر بنفس عناصره المعلومة - انظر الشكل عاليه

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب = 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ = 90 درجة
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر بنفس عناصره - انظر الشكل عاليه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب < 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ لها قيمتين : أ ، (180 - أ)
ويوجد مثلثين وليس مثلثا وحيدا ، فالتطابق لا يتم - انظر الشكل عاليه

4 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
فيكون المثلث وحيد ومتساوى الساقين ، ويتم التطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

5 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
وتكون (ب ج/أ ج). جاب < 1
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

ثانيا : فى حالة الزاوية المعلومة "منفرجة" أكبر من 90 درجة ، وتتضمن 3 حالات

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_ambiguous case3.JPG

1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) > 180 درجة
فلا يمكن إنشاء المثلث

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) = 180 درجة
فلا يمكن إنشاؤه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
ويمكن إنشاء المثلث كحالة وحيدة وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - أنظر الشكل عاليه


#######




مثال (1)


http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_saadeldin_triangle SSA.JPG



مثال (2)

حل المثلث أ ب جـ اذا علمت ان < أ = 36َ 35ْ ، أ َ = 1770 سم ، ب َ = 2164 سم ؟

http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_saadeldin_triangle SSA 1.JPG

#########