معادلة بل Pell's Equation

[mathson]

معادلة بل (Pell's Equation)

(ملاحظة: أنني لا أملك خبرة واسعة في هذا المجال، فأرجو ممن يملك الخبرة التدقيق)

في الحقيقة معادلة بل التي تنسب إلى العالم "بل Pell" تمت دراستها قبل أن يولد "بل" بألف سنة، و قد درسها العالم الرياضي الشهير "Brahmagupta" (لست متأكدا من طريقة كتابة اسمه باللغة العربية). معادلة "بل" تكتب على الصورة التالية:
x^2 -ny^2 = 1
أو بصورة أخرى ليتم دراستها بسهولة و هي الصورة التي سنركز عليها:
nx^2 + 1 = y^2
حيث x,y,n أعداد صحيحة، و n<0 وهو ليس مربعا كاملا.
( العدد n ليس مربع كامل، ذلك لأن لاغرانج “Lagrange” برهن أنه إذا تحقق هذا الشرط فإنه يوجد أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة).


في الحقيقة، معادلة "بل" هي حالة خاصة من المعادلة الديفونتية "Diophantine Equation" من الدرجة الثانية، حيث أن المعادلة الديفونتية من الدرجة الثانية تكتب على الصورة:
ax^2 + bxy + cy^2 = k
وهي ليست محل دراستنا الآن.

الهدف من هذا كله هو إيجاد قيم x,y الصحيحة التي تحقق المعادلة في حال معلومية قيمة العدد n. لكن قبل أن نبدأ بتحريك ساكن، لاحظ أن:
(b^2 - na^2)(d^2-nc^2) = (bd+nac)^2-n(bc+ad)^2
وأيضا:
(b^2-na^2)(d^2-nc^2) = (bd-nac)^2-n(bc-ad)^2
لكن إن كان
b^2 - na^2 = 1 و d^2 - nc^2=1
فإن
(bd+nac)^2 - n(bc+ad)^2 = 1
و
(bd-nac)^2-n(bc-ad)^2=1
أو بكلام آخر، إذا كان (a,b) و (c,d) حلين لمعادلة "بل" فإن:
(bc+ad, bd+nac), (bc-ad, bd-nac)
حلين آخرين، وهذا يعني أننا نستطيع إيجاد عدد لا نهائي من الحلول إن أمكن لنا استنتاج حلين ابتدائيين. ولكن يمكن إستنتاج عدد لا نهائي من الحلول باستنتاج حل ابتدائي واحد فقط، لاحظ أنه إن كان (a,b) فإن (2ab, b^2+na^2) حل آخر (لماذا؟).

للحديث بقية نكتبها لاحقا بإذن الله تعالى.

[mathson]

لنصغ ما قلناه على شكل نظرية نرجع إليها لاحقا:

نظرية 1 : إذا كان (a,b) و (c,d) حلان للمعادلة nx^2 + 1 = y^2 فإن كلّا من
(bc+ad, bd+nac), (bc-ad, bd-nac)
هو حل للمعادلة السابقة.

ونذكر أيضا النتيجة:

نتيجة 2 : إذا كان (a,b) حل للمعادلة nx^2 + 1 = y^2 فإن
(2ab, b^2 + na^2)
حل للمعادلة السابقة أيضا.


الآن، نستطيع تعميم المسألة بقول أنه لو كان (a,b) حل للمعادلة nx^2 + k = y^2 و في نفس الوقت كان (c,d) حل للمعادلة nx^2 + k' = y^2 فإن كلا الزوجين المرتبين التاليين
(bc+ad, bd+nac), (bc-ad, bd-nac)
حلين للمعادلة:
nx^n + kk' = y^2
وهذا واضح حسب ما أوردنا أعلاه.

تعميم 3 (نظرية “Brahmagupta”): إذا كان (a,b) حل للمعادلة nx^2 + k = y^2 و كان (c,d) حل للمعادلة nx^2 + k' = y^2 فإن كلّا من
(bc+ad, bd+nac), (bc-ad, bd-nac)
حلين للمعادلة nx^2 + kk' = y^2



أيضا، إحدى الخصائص المهمة، إذا كان (a,b) حل للمعادلة nx^2 +k = y^2، فإنه واضح أن (2ab, b^2+na^2) هو حل للمعادلة nx^2 + k^2 = y^2، و بالقسمة على k^2 نجد أن:
x = \frac{2ab}{k} \qquad y=\frac{b^2+na^2}{k}
هو عبارة عن حل لمعادلة “بل”:
nx^2 + 1 = y^2
وهذه الصيغة تساعدنا في إكتشاف الحل في حالات خاصة متعددة، كما في حال كان k=2، لأننا لو وجدنا حل للمعادلة nx^2 + 2 = y^2 وليكن (a,b)، نجد:
na^2 + 2 = b^2 \Rightarrow na^2 = b^2 - 2
بالتالي فإن الحلول الأخرى تكون:
x = \frac{2ab}2 =ab \qquad y=\frac{b^2 + na^2}2 = \frac{2b^2 - 2}2 = b^2 - 1
(تذكر: الحلول الأخيرة للمعادلة nx^2 + 1 = y^2 و ليس للمعادلة nx^2 + 2 = y^2، هذا يعني أنك تستطيع استعمال المعادلة الثانية لحل الأولى حسب نظرية1).


كمثال، لنأخذ المعادلة 23x^2 + 1 = y^2.
لاحظ أنه يصعب الحصول على حل ابتدائي، والذي يمكّننا من استنتاج بقية الحلول بسهولة و يسر، لذا نلجأ للتحايل، لنحل المعادلة 23x^2 + 2 = y^2 بدلا من ذلك، واضح أنه أول حل يخطر على البال هو x=1,y=5، أي أن (a,b) = (1,5). الآن ماذا سيفيدنا؟ حسب ما أوردنا سابقا الحل سيكون:
x = ab = 1\times 5 = 5, \qquad y = b^2-1 = 24
ويمكنك اعتباره الحل الأولي ثم تستنتج الحلول الأخرى باستخدام نظرية 1.