تمرين ألمبياد 2 ( المرجو الحل )

[idhamsky]

http://www.arabruss.com/uploaded/67457/1248263883.jpg

[idhamsky]

ارجوكم احتاج حلا لهذا التمرين ضروري

[mohey]

أخى الكريم أكتب السؤال بشكل واضح !!!!!!

[idhamsky]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0641212001248297677.png

[mathson]

ملاحظة مهمة : إذا كان a,b عددان صحيحان، بحيث:
\left( 1 + \sqrt{2} \right )^n = a + b\sqrt 2
فإن:
a^2 - 2b^2 = (-1)^n

البرهان:
العبارة صحيحة عند n=1.
نفرض أنها صحيحة عند n, أي أن:
\left( 1 + \sqrt 2\right) ^n = a + b\sqrt 2 \Rightarrow a^2 - 2b^2 = (-1)^n
الآن عند n+1:
\left(1 + \sqrt 2 \right)^n \left(1 + \sqrt 2 \right) = \left(a + b\sqrt 2\right)\left(1 + \sqrt 2\right) = (a + 2b) + (a+b)\sqrt 2
وبالحساب:
(a + 2b)^2 -2 (a+b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - 2a^2 - 4ab - 2b^2 = -a^2 +2b^2 = -(-1)^n = (-1)^{n+1}

وينتج المطلوب.

[idhamsky]

chokraaaan bzaaaf
hal ra2i3
always genius mr mathson

[انس الوجود]

حل عظيم