معادلة دالية (5)

[mourad24000]

ليكن \alpha عدد حقيقي. أوجد جميع الدوال f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty) و التي تحقق:

\alpha {x}^{2}f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{x}{x+1}

و هذا من أجل كل x>0.

[ياسين]

السلام عليكم

هل الجواب

f(x)=\frac{x(1- \alpha x )}{(x+1)(1-{\alpha}^2)}

[mourad24000]

السلام عليكم

هل الجواب

f(x)=\frac{x(1- \alpha x )}{(x+1)(1-{\alpha}^2)}
و عليكم السلام و رحمة الله
الجواب أكيد صحيح 100 0/0 بارك الله فيك
في انتظار تفاصيل الحل

[ياسين]

في المعطى نضع بدل x ، \frac{1}{x}

فنجد
\alpha \frac{1}{x^2} f(x) +f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x+1}

نضرب في \alpha x^2

\alpha^2 f(x) +\alpha x^2 f(\frac{1}{x})=\frac{\alpha x^2}{x+1}

نطرح معادلتك من المعادلة الاخيرة فنجد

f(x) -\alpha^2 f(x) =\frac{x(1-\alpha x)}{x+1\ }

و منه نجد المطلوب شرط ان يكون \alpha يخالف 1 و -1