اثبااات ابي المساعده بكره اختباري في مبادئ الجبر

[نوريه]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بفرض G زمره بحيث a^2=e لكل a تنتمي لـ G اثبتي ان G زمره ابداليه؟

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

لكل عنصرين : \ a , b \in G :

\ a^2=e , b^2=e , (ab)^2=e

و عليه :

\ (ab)^2=e =ee=a^2b^2

بقي علينا أن نبرهن أنه \ (ab)^2= a^2b^2

إذا و فقط إذا a , b ابداليتان :

لنفرض أن \ a^2b^2 = (ab)^2

بالضرب في a-1 من اليسار و b-1 من اليمين :

\ ba = a^{-1}( abab)b^{-1} = a^{-1}(a^2b^2)b^{-1}=ab

كما هو مطلوب

و بالعكس ، إذا كانت a , b ابداليتان :

\ (ab)^2= (ab)(ab) = (aa)(bb) = a^2b^2

[نوريه]

مشكووووووووووووور ويعطيك العافية
انا عندي حل بس ماهو بواضح مثل حلك ماشاء الله تبارك الله