قطعين مكافئين متقاطعين بأربعة نقاط أثبت :

[فهد ع]

ليكن أي قطعين مكافئين متقاطعين بأربعة نقاط
أثبت أن هذه النقاط الأربعة تقع على دائرة واحدة أوجدها

[HadiIran]

عفوا
هل يمكنك أن تقول ما معنا بقطعين متكافئين؟
أذلك يعني قطعين من "مخروط" ؟

[فهد ع]

نعم أعني قطعين من مخروط
و المطلب إثبات أن نقاط التقاطع الأربعة تقع على دائرة واحدة
أي تقع في مستوي واحد و على دائرة واحدة

[فهد ع]

ياللأسف هذه من مسائل سورية و إلى الآن لم تحل
في منهج الثانوية
من مذكرات خارجية
أين السوريين
أين من يريد نفع المدرسين و الطلاب بأسلوب لحل هذه المسألة

[uaemath]

مقدمة

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)

و لكن يمكننا وضع العبارة كما يلي :

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

على الأكثر

إذا كان محوري القطعين المكافئين متعامدان فانهما يتقاطعان في أربعة نقاط

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)


http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_49057617.GIF


سنعتبر أن التقاطع هو أربعة نقاط حسب معطيات السؤال

الآن ، إذا أثبتنا ان تقاطع المكافئين يمثل معادلة دائرة ، هذا يعني ان نقاط

التقاطع التي تحقق هذه المعادلة تنتمي لنفس الدائرة.

لتكن معادلتي القطعين على الشكل الآتي :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

معلوم أن شرط كون هاتين المعادلتين قطوع مكافئة هو :

b² - 4ac = 0 و B² - 4AC = 0

بضرب الاولى في B و الثانية في b و من ثم طرحهما :


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0876361001169719377.png---------------------------(1)

و هي لا تحتوي على المعامل xy ، تمثل هذه الاخيرة معادلة دائرة

إذا كان معاملا x² و y² متساويان :

aB - Ab = cB - Cb


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0016957001169719944.png------------------(2)

لتكون دائرة ، نحتاج أيضا ان تكون معاملات x² و y² ، بالإضافة إلى كونهما متساويان ، أن لا يساويا الصفر

إذا كان كلاهما صفرا :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0595062001169720181.png

في تلك الحالة تكون معادلة الدائرة أعلاه :

إما خطا مستقيما مما يعطي أن التقاطع يكون على الأكثر نقطتين

أو مجموعة فارغة مما يعني أن التقاطع لا شيء

الآن ، إذا كانت زاويتا المحورين هما http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0813830001169721373.png و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0188826001169721401.png

، كلاهما بين 0 و 2 باي :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0079442001169721551.png

بفرض أن المعادلة (1) تمثل دائرة ، أي أن العلاقة (2) متحققة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0579449001169722041.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0954728001169723230.png

و هذا يعني أن المحورين إما متعامدان ( k فردية ) و إما متوازيان ( k زوجية)

كما قلنا في المقدمة ، يكون التقاطع 4 نقاط عندما يكون محوري القطعين

المكافئين متعامدان - و لكن هذا غير صحيح دائما -

النتيجة :

في حال تقاطع قطعين متكافئين :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

في 4 نقاط ، تكون هذه النقاط على دائرة واحدة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0876361001169719377.png

بشرط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0860694001169724314.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0016957001169719944.png

[فهد ع]

جزاك الله خيراً
إنني أحتاج إلى وقت حتى أستوعب الحل

[حسام محمد]

يمكن أن يكون الحل كمايلي:

كما ذكر المشرف العام في المقدمة حتى يتقاطع القطعين المكافئين

بأربع نقاط يجب أن تكون معادلتاهما من الشكل:

(س-س₀)2=ب(ص-ص₀)
(ص-ص₀)2=بَ(س-س₀)
(أي إحداثيي كل من نقاط التقاطع الأربعة تحقق المعادلتين السابقتين)

بإجراء انسحاب للنقطة (س₀,ص₀) تصبح المعادلتين كمايلي:

س²=ب ص.........(1)

ص²=بَ س........(2)

(أي إحداثيي كل من نقاط التقاطع الأربعة بالنسبة للمحاور الجديدة تحقق المعادلتين السابقتين)

بجمع(1)مع(2)نجد:

س²+ص²=بَ ص+ب س

س²-ب س +ص²-بَ ص =0

(س-ب\2)²+(ص-بَ\2)²=ب²\4+بَ²\4

(أي إحداثيي كل من النقاط الأربعة تحقق هذه المعادلة)

وهذه المعادلة هي معادلة دائرة

إذاً النقاط الأربعة تقع على هذه الدائرة

[حسام محمد]

أعتذر,,

حلي الأخير خاطئ أتراجع عنه