المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : أسئلة مسابقة الرياضيات


أبو علي
16-03-2003, 02:15 PM
اليوم أدى طلاب المرحلة الثانوية اختبار مسابقة الرياضيات والتي تعد أسئلتها مدينة الملك عبدالعزيز للعلوم والتقنية ( المركز الوطني للعلوم والرياضة )

وقد وصلتني الأسئلة ( بدون الإجابات ) فأحببت أن نتعاون على حلها

علماً بأن الأسئلة ليست خاصة بمنهج ثالث ثانوي

وسوف أكتب السؤال الأول فقط وإذا تم حله أكتب الثاني ... وهكذا حتى تنتهى الأسئلة ( زمن الاختبار ثلاث ساعات )

شدوا حيلكم نبغى محاولات جادة ( حتى ولو كان غير مكتملة أو غير صحيحة )


السؤال الأول :

(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة ( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 - س

(ب) أوجد جميع أصفار كثيرة الحدود

د(س) = س^4 - 3 س^3 + 6 س^2 + 2س - 60

(ج) إذا كانت ( س ، * ) زمرة وكان ( س * ص )^2 = س^2 * ص^2 لكل س ، ص ينتميان إلى س فأثبت أن ( س ، * ) إبدالية [ لاحظ أن س^2 = س * س ]


أي شخص يعرف حل أي فقرة ( ولو واحدة ) يكتبها وليس بالضرورة أن يكون الحل بالترتيب


أبو علي

uaemath
16-03-2003, 02:53 PM
ممتاز أخي ابو علي ممتاز !

أبو علي
16-03-2003, 06:57 PM
هل تعتقدون أن تربيع الطرفين في فقرة (أ) سيؤدي إلى الحل ؟

جربوا


أبو علي

ابن البادية
17-03-2003, 09:25 PM
(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة ( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 - س

ضروري شط الحل ان س اقل من 2

س = 1.5



ب) أوجد جميع أصفار كثيرة الحدود

د(س) = س^4 - 3 س^3 + 6 س^2 + 2س - 60


الجذور هى



3 ، -2 ، 1+3 ت ، 1- 3 ت

لك تحياتى

أبو علي
17-03-2003, 10:45 PM
ابن البادية مشكور وما قصرت
لقد أعطيتنا مفتاح الحل

واسمح لي أن أكتب شرحاً بسيطاً عن كيفية حل كثيرات الحدود التي من الدرجة الثالثة فأكثر
لحل معادلات كثيرات الحدود التي من الدرجة الثالثة أو أكثر نبحث عن عدد يحقق المعادلة ( بالتخمين )
إلا أن هناك نظرية تساعدنا كثيراً في عملية التخمين وهي : إذا وجد حل لمعادلة كثيرة الحدود ( عدد صحيح ) فإنه يكون من قواسم الحد الثابت في كثيرة الحدود
لذلك لو كان العدد الثابت هو 3 مثلاً فإن الحلول ( كأعداد صحيحة ) إن وجدت فهي 1 أو -1 أو 3 أو -3 فقط
نجرب هذه الأرقام ( بالتعويض في المعادلة ) لتعطينا بداية الحل
وأما إذا كانت الحد الثابت عدد كبير مثل 60 مثلاً فمن الصعب التحقق من جميع قواسم 60
لذلك نجرب 1 ، -1 ، 2 ، -2 وهكذا
أما الصفر فلا نجربه لأنه من المؤكد لن يكون حلاً للمعادلة والسبب هو وجود حد ثابت في المعادلة

في هذا السؤال وجدنا أن د(-2) = صفر
وعليه فإن ( س + 2 ) يكون عاملاً من عوامل كثيرة الحدود المعطاة
نقوم بإجراء القسمة المطولة لنحصل على الناتج


د(س) = ( س + 2 ) ( س^3 - 5 س^2 + 16 س - 30 )

نعيد عملية التخمين بالنسبة لكثيرة الحدود الجديدة ( الناتج ) فنجد أن 3 هو أحد حلولها وعليه فإن ( س - 3 ) هو عاملا لها
نجري عملية القسمة المطولة على كثيرة الحدود الجديدة فنجد أن

س^3 - 5 س^2 + 16 س - 30 = ( س - 3 ) ( س^2 - 2 س + 10 )

الأن نحل المعادلة

( س + 2 ) ( س - 3 ) (س^2 - 2 س + 10 ) = صفراً

إما س + 2 = صفر ===> س = -2
أو س - 3 = صفر ===> س = 3
أو س^2 - 2 س + 10 = صفر وهذه نحلها بإستخدام القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية بمجهول واحد فنجد أن الحلين هما :

(1 + 3 ت )
( 1 - 3 ت )

إنتهى


ملاحظة :
توجد برامج لحل المعادلات التي من الدرجة العاشرة فأقل.

أرجو ممن لديه طريقة أخرى أو ملاحظة أن لا يبخل علينا بها.


أبو علي

ابن البادية
17-03-2003, 10:49 PM
شكرا ابو على

على الشرح

لك تحياتى

أبو علي
17-03-2003, 11:12 PM
مشكور أخوي ابن البادية على أعطانا مفتاح الحل
أسأل الله سبحانه وتعالى أن يجعلك دائماً مفتاحاً للخير

بالنسبة لحل الفقرة (أ) ( والتي تفضل بحلها الأستاذ ابن البادية )


( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 – س

نربع الطرفين فنجد أن

س^2 – ( 2 س + 1 )^2 = 4 – 4 س + س^2

أي أن ( 2 س + 1 )^2 = 4 س – 4

نربع الطرفين مرة أخرى فنجد أن

2 س + 1 = 16 س^2 – 32 س + 16

نرتب المعادلة

16 س^2 – 34 س + 15 = صفر

وهذه معادلة من الدرجة الثانية تحل بإستخدام القانون العام

فيكون الحل

إما س = 3/2

أو س = 5/8 وهذا الحل مرفوض لأنه خارج نطاق الدالة



أبو علي

أبو علي
17-03-2003, 11:16 PM
باقي فقرة ( ج )

وين الناس ؟

يا أهل الرياضيات شكل هالفقرة بسيطة

إبدأوا وكل شيء يهون ( إن شاء الله )؟


أبو علي

المتميز
18-03-2003, 01:14 AM
مرحبا ابو علي

بالنسبة لفقرة ج فالحل كالتالي

للتسهيل لن اكتب العلامة

(س ص )^2 = س ص س ص = س س ص ص ..... الاولى تعريفا والثانية من الشرط

بالضرب في س^-1 من اليمن و ص^-1 من اليسار نحصل على المطلوب

تحياتي ......

أبو علي
18-03-2003, 05:53 AM
ممتاز يالمتميز

وينك من أول ؟

طيب شدوا حيلكم في السؤال الثاني ( فقرتين فقط )

السؤال الثاني :

(أ) استخدم الاستقراء الرياضي لإثبات أن :

( 1 - س ) ( 1 + س ) ( 1 + س^2 ) ( 1 + س^4 ) 000( 1 + س^2^ن) = 1 - س^2^(ن+1)
لكل ن عدد صحيح غير سالب
ملاحظة ( من عندي ) س^2^(ن+1) تعني أن أس س هو 2 أس (ن+1) يعني أس لأس

(ب) يلعب فريق كرة قدم خلال أيام شهر شوال ( 30 يوماً ) 45 مباراة على الأكثر بشرط أن يلعب مباراة واحدة على الأقل يومياً . أثبت وجود فترة من الأيام المتتالية خلال هذا الشهر بحيث يكون مجموع عدد المبارايات التي يلعبها الفريق في هذه الفترة هو 14 مباراة بالضبط.


أبو علي

المتميز
18-03-2003, 06:06 PM
مرحبا ابو علي .....

اضغط هنا (http://members.lycos.co.uk/mathematicians/vb/showthread.php?s=&threadid=228)

ولك تحياتي .....

أبو علي
18-03-2003, 09:04 PM
المميز

بصراحة لقد أجدت وأفدت فلله درك

وتحملنا قليلاً في الأسئلة الباقية


هناك طريقة لحل فقرة (أ) بدون استخدام الإستقراء الرياضي سأكتبها ( للفائدة )

فكرة الحل : سنبدأ من الطرف الأيمن ونضرب القوسين الأوليين في بعض ثم نضرب الناتج في القوس الثالث ثم نضرب الناتج في القوس الرابع ... وهكذا حتى تنتهي الأقواس

لاحظ أن ( 1 - س ) ( 1 + س ) = ( 1 - س^2 )
وكذلك ( 1 - س^2 ) ( 1 + س^2 ) = ( 1 - س^4 )
وهكذا ( 1 - س^4) ( 1 + س^4 ) = ( 1 - س^8 )
.
.
.
.
وأخيراً ( 1 - س^2^ن ) ( 1 + س^2^ن) = ( 1 - س^2^(ن+1)) = الطرف الأيسر
وهو المطلوب إثباته.

السؤال الثالث :

(أ) أوجد قيمة النهاية : نهـــــــــــــا ( س^(1/3) - 1 ) ) / ( س^1/2 - 1 ) عندما س ----> 1

للتوضيح : البسط = الجذر التكعيبي لـ س ناقصاً 1 ( -1 خارج الجذر )
والمقام الجذر التربيعي لـ س ناقصاً 1 ( -1 خارج الجذر )

(ب) حل المعادلة لـــــو ( س - 1 ) = لـــــــو ( س - 2 ) - لـــــــو ( س + 2 ) حيث س عدد حقيقي


المتميز لك مني رسالة خاصة أرجو مراجعتها مشكوراً

أبو علي

ابن البادية
18-03-2003, 09:21 PM
المعادلة اللوغاريتمية مجموعة الحل فاى


النهايات


بالضرب بسطا ومقاما فى

(( س^(2/3) - س^(1/3) +1 ) ) ( س^1/2 + 1 )

لك تحياتى

المتميز
18-03-2003, 09:45 PM
مرحبا اخ ابو علي

واشكر لك حرصح على طرح المسابقة وطرح افكار متنوعة للحل ....

اما رسالتك الخاصة فمع الاسف :(

هناك نظام غريب في المنتدى وهو انني يجب ان اشارك 15 مشاركة
حتى استطيع مشاهدة رسائلي الخاصة !!!!

على العموم اعدك ان اشاهد الرسالة ان شاء الله متى ما اكملت 15 مشاركة :)

تحياتي لك وللاح ابن البادية على ما تقدمانه للمنتدى

ابن البادية
18-03-2003, 09:48 PM
اشكرك اخى المتميز

نحن فى مركب واحد


لك تحياتى

أبو علي
18-03-2003, 11:44 PM
مشكور يا ابن البادية لكن لا تبخل علينا بطريقة الحل لكي نستفيد جميعنا ( أعضاءً وزواراً )
قد تكون لديك طريقة أفضل مما لدي أو قد لا يكون عندي طريقة فأستفيد من حلك


أبو علي

ابن البادية
19-03-2003, 01:52 PM
حاضرين يا ا با على

(أ) أوجد قيمة النهاية : نهـــــــــــــا ( س^(1/3) - 1 ) ) / ( س^1/2 - 1 ) عندما س ----> 1

بالضرب بسطا ومقاما فى

(( س^(2/3) + س^(1/3) +1 ) ) ( س^1/2 +1)

نالبسط ( ( س^(1/3) - 1 )(( س^(2/3) + س^(1/3) +1 ) ) ( س^1/2 +1) = ( س^1/2 +1 ) ( س -1)

المقام = (( س^(2/3) +س^(1/3) +1 ) ) ( س^1/2 +1)( س^1/2 +1) = ( س^1/2 +1) ( س-1)

اختصار ( س-1) من البسط والمقام


نهـــا ( س^1/2 +1)/( س^(2/3) + س^(1/3) +1 ) )
عندما س ----> 1

= 2/3
طبعا بالحل باستخدام لوبيتال




(ب) حل المعادلة لـــــو ( س - 1 ) = لـــــــو ( س - 2 ) - لـــــــو ( س + 2 ) حيث س عدد حقيقي

شرط الحل س > 2

لـــــو ( س - 1 ) = لـــــــو ( س - 2 ) / ( س + 2 ) خواص اللوغاريتمات

س-1 =( س-2 ) / ( س+2)
بالضرب التبادلى والاختصار
س= 0

وهذا لايحقق شرط الحل
م ح = فاي

تحياتى

أبو علي
19-03-2003, 02:07 PM
ممتاز ابن البادية ومشكور

أعتذر لكم حيث نسيت أن أكتب فقرة (ج) من السؤال الثاني ( السابق )

وهي :
(ج) إذا كان ك عددأً أولياً فهل من الضروري أن يكون 2^ك - 1 عدداً أولياً ؟ برّر إجابتك.


لا تتأخرون في الحل لأنه باقي سؤالين ( تعجبكم إن شاء الله )


أبو علي

المتميز
19-03-2003, 05:00 PM
مرحبا ابو علي

الجواب لا

2^11 - 1 = 23 × 89

ولك تحياتي .....

أبو علي
19-03-2003, 09:37 PM
المتميز بصراحة وبدون مجاملة أنت اسم على مسمى

أغلب الذين يحاولون إجابة هذا السؤال يعتقدون أن المطلوب هو إثبات أن 2^ك - 1 عدد أولي

السؤال الرابع :

(أ) حل المعادلة التالية :
2^1994 + 4^997 + 8^665 = 16^س

(ب) أثبت أن الدالة د(س) = لــو ( س + ( س^2 + 1 )^1/2) فردية.
[ نقول أن الدالة فردية إذا حققت الشرط د(- س) = - د( س ) لجميع قيم س في مجال د ]

(ج) أوجد قيمة س التي تجعل المصفوفة التي من النوع 2 في 2 وعناصر صفها الأول 4 .... 6^س وأما عناصر صفها الثاني فهي 2^س ... 9
غير قابلة للعكس ( أي ليس لها نظير ضربي ).


أبو علي

ابن البادية
19-03-2003, 11:20 PM
د(س ) = لو (س + جذر ( س^2+1) )

د( - س ) = لو ( - س + جذر ( س^2+1) )

من تعريف الدالة الفردية د( س) + د (- س) = صفر

لو (س + جذر ( س^2+1) ) + لو ( - س + جذر ( س^2+1) )

= لو (س + جذر ( س^2+1) ) × ( - س + جذر ( س^2+1) )

= لو 1 = صفر


(

ابن البادية
19-03-2003, 11:22 PM
أ) حل المعادلة التالية :
2^1994 + 4^997 + 8^665 = 16^س

حل المعادلة

س = 449

الفكرة تحويل الاساسات الى الاساس 2 واخذ 2^ 1994 عامل مشترك

والاختصار ومساوة الطرفين


لك تحياتى

ابن البادية
19-03-2003, 11:24 PM
حل اخر
للدالة الفردية


د( - س ) = لو ( - س + جذر ( س^2+1) × ( (س + جذر ( س^2+1) ) / (س + جذر ( س^2+1) ) )


لو ( 1 /( لو (س + جذر ( س^2+1) ) )

لو 1 - لو (س + جذر ( س^2+1) ) = -(س )

مسالة المصفوفات نتركها لباقى الاخوان للمشاركة


لك تحياتى

أبو علي
20-03-2003, 06:12 AM
ابن البادية
ما شاء الله
اللهم لا حسد

باقي حل المصفوفة
وياليت بقية الأعضاء يشاركوننا في الحل ولوكان ناقص أو فيه خطأ

أوجد قيمة س التي تجعل المصفوفة ليس لها نظير ضربي


أبو علي

uaemath
20-03-2003, 07:14 PM
أوّد أن أتوجه بالشكر للأخ ابو علي
واضع الموضوع و للأخوة المتميز و ابن البادية على حسن تفاعلهما و متابعتهما.

أرجو من أخي ابو علي توضيح الأسس في المصفوفة:

هل هي 2 أس س أم س أس 2 و ذلك لأن الأرقام تظهر بالحرف اللاتيني مع الشكر الجزيل

أبو علي
20-03-2003, 07:36 PM
استاذنا uaemath

الشكر لك ( بعد الله ) على هذا المنتدى الطيب بأهله وأعضائه ومواضيعه ولا ننسى كل من شارك في حل هذه الأسئلة فهم يعتبرون مرجعاً لنا في مثل هذه المسائل

بالنسبة للموصفوفة :
عناصر الصف الأول 4 ، 6 أس س
عناصر الصف الثاني 2 أس س ، 9

أبو علي

المتميز
21-03-2003, 04:33 PM
مرحبا بالجميع

الاخ ابن البادية لعلك عنيت 499

اما السؤال الاخير فحله يتم بايجاد المحددة ومساواتها بالصفر

اي

36 - 12^س = 0

او

س = لو36 \ لو 12

تحياتي .....

ابن البادية
21-03-2003, 04:42 PM
نعم اخى المتميز

قصدت 499 بارك الله فيك

مسألة المصفوفة

توصلت الى الاجابة نفسها

لك تحياتى

أبو علي
21-03-2003, 06:09 PM
لله دركم
إنتظروا أسئلة مسابقة الرياضيات على مستوى الخليج والتي أقيمت هذا الشهر في البحرين

أبو علي

أبو علي
25-03-2003, 01:04 AM
ما أعتقد أنها صعبة

حاولوا

أبو علي

دهن العود
25-03-2003, 02:01 AM
أكيد هي ليست صعبة ولكن تحتاج إلى كتابة طويلة ...!!

السؤال الأول :

طول المستطيل = 2 س + 6
عرض المستطيل = 2 س + 3
مساحة المستطيل = ( 2 س + 6 ) ( 2 س + 3 )
مساحة الجزء المظلل = 4 × 1/2 س^2 = 2 س^2

مساحة المستطيل = مساحة الجزء المظلل + المساحة الغير مظللة

( 2س + 6 ) ( 2س + 3 ) = 2 س^2 + 62

4 س^2 + 18 س + 18 = 2س^2 + 62

2س^2 + 18 س - 44 = 0

س^2 + 9س - 22 =0

(س - 2 ) ( س + 11 ) = 0

ومنها :
س = 2 أو س = -11 ( وهو مرفوض )

إذاً عند س = 2

مساحة الجزء المظلل = 2س^2 = 2 × 2^2 = 8 سم2


السؤال الثاني :

ك × م = 2047

( ك-1 ) ( م - 1 ) = 1936

ك م - ك - م + 1 = 1936

بالتعويض عن ك × م = 2047 ، م = 2047/ك

2047 - ك - 2047/ك + 1 = 1936

بالضرب في ك :

2047 ك - ك^2 - 2047 + ك = 1936 ك

وبعد الاختصار :

ك^2 - 112 ك + 2047 = 0

( ك - 89 ) ( ك - 23 ) = 0

إذاً :
ك = 89 أو ك = 23

إذاً :
عندما ك = 89
فإن م = 23
والعكس صحيح ....!!!

أبو علي
25-03-2003, 06:05 AM
ما شاء الله

الله يزيدك من فضله


أنا أشهد إنك دهن عود أصلي



أبو علي

Hamdy Rashed
27-05-2009, 10:09 PM
حل المسألة الاولى
بتربيع الطرفين س^ 2 -(2س+1)^1\2=(2-س)^ 2
س^2-(2س+1)^1\2 =4-4س+س^ 2
-((2س+1)^1\2=4-4س
2س+1=(4-4س)^2
2س+1=16-32س+16س^2
16س^2-32 س+16-2س-1=0
16س^2-34 س+15 =0
(8س-5)(2س-3)=0
س=5\8 س=3\2
حمدى رشيد