المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : متفاوتة الوسط اللوغاريتمي


omar
09-09-2006, 11:23 PM
السلام عليكم ورحمة الله .

اثبت هذه المتفاوتة اللوغاريتمية ....

لكل عددين موجبين مختلفين a و b .

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0455701001177880579.png

تحياتي .

طالب معرفة
28-12-2007, 11:50 AM
Without loss of the generalization let
b>a
Firstly, let
f1(x)=ln a +\frac{(x-a)}{\sqrt{ax}}-\ln x

we have
\frac{df1}{dx}=\frac{x+a-2\sqrt{ax}}{2x\sqrt{ax}}

= \frac{( \sqrt{x}-\sqrt{a}\) ^{2}}{2x\sqrt{ax}}
larger than 0
Therefore $f1$ is increasing function and
f1(a)=0
Then f1>0
for all x>a
Then , for all b>a
sqrt{ab}\leq \frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}-----------(1)
Secondly, let
\ f2(x)=ln x-ln a-\frac{2(x-a)}{(x+a)}
then
\frac{df2}{dx}=\frac{(x-a)^{2}}{x(x+a)}
greater than 0
Therefore $f2$ is increasing function and
f2(a)=0
Then f2>0
for all x>a
Then , for all b>a
\frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}\leq \frac{b+a}{2}------------(2)
From (1) and (2)
sqrt{ab}\leq \frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}\leq \frac{b+a}{2}

Note that, If b less tha a , we can alternate each of a and b, because

\frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}=\frac{(a-b)}{(ln a-ln b)}

Amel2005
28-12-2007, 11:58 AM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أخى الكريم / طالب معرفة
زادك الله من فضله معرفة وعلما
وبارك جهدك .... ،

طالب معرفة
29-12-2007, 03:44 PM
الأخت الفاضلة Amel2005

شكرا جزيلا لك وأشكر لك مجهودك الكبير وبارك الله فيك أختنا الفاضلة