المسابقة الرياضية(1)-السؤال 6

[uaemath]

انتظروه في تمام السادسة مساءَ بتوقيت غرينتش - التاسعة بتوقيت السعودية

يوم الأربعاء 22 نوفمبر 2006

[uaemath]

السلام عليكم ،

إن لجنة الحكم إذ تـنـوَه بالحماس العالي و المثابرة الحثيثة و الفكر المتمرس للإخوة

المتسابقين ، تعتذر عن عدم منح أي نقطة للسؤال الخامس و تتمنى للمتسابقين الكرام

حظا اوفر في الأسئلة القادمة

السـؤال الـســـــــــادس من الأستـــــــاذ عـمــــــــــــر

حـدّد جميع الأعداد الصحيحة س التي تجعل :


1 + س + س² + س³ + س⁴


مــربّــــــــــــــعا كامــــــــــــلا

Find all integers x , that make http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0295149001164218351.png a perfect square.




بالتوفيق للجميع

[محمدالزواوى]

التمرين: اذكر كل الاعداد الصحيحه التى تجعل [1+س+س^2+س^3+س^4] مربع كا مل ام [1+س₁ +س₂
+س₃ +س] مربع كامل:ty: [الزواوى]

[uaemath]

التمرين: اذكر كل الاعداد الصحيحه التى تجعل [1+س+س^2+س^3+س^4] مربع كا مل ام [1+س₁ +س₂
+س₃ +س] مربع كامل:ty: [الزواوى]

أخي محمد ،

التى تجعل [1+س+س^2+س^3+س^4] مربع كا مل

[محمود طه القالع]

حتي الان
الصفر ، 3 ، ـــ 1 تحقق المطلوب
حيث تم اعداة الصياغة علي الصورة
س(س+1) (س^2 + 1 ) + 1

[محمود طه القالع]

وايضا العدد ( ــ 1 ) يحقق

[محمود طه القالع]

اخاول صياغة قاعدة الان

[hosam]

الإجابات هى كما قال الأخ الأستاذ محمود طه القالع
ــ 1 ، 0 ، 3
أعتقد أن الحل سيكون بهذه الطريقة ولكن تحتاج لتفكير
http://www.uaemath.com/up/upload/wh_75763398.jpg
حسام وهبه

[اشرف محمد]

لكى يكون المقدارمربعا كاملا يجب وضعه على الصورة الاتية
(اس2+ب س +ج)2
بالفك ومساواة العوامل
ا2 س4+2 ا ب س3 +(2 ا ج + ب2)س2 + 2 ب ج س+ ج2
بمساواة العوامل
نجد معامل س2 =1
ا2=1
ا=+-1
معامل س3=1
2 ا ب=1
ب=+-1\2
الحد المطلق =1
ج2 =1
ج=+-1
معامل س =1
2 ب ج =1
وهذا متحقق
معامل س2 هو 2اج + ب2
وهو يساوي الواحد
لكنه لايتحقق بالتعويض بالقيم السابقة اي لا يساوي 1
بل يساوي2025
وهذا تناقض
اذن المقدار لا يمكن مساواته بمربع كامل الا
في حاله س= صفر
وهى الحالة الوحيد التى تنعدم عنده المعاملات
والله تعالى اعلم بالصواب

اكيد عندى خطا
لكنها جميلة كسابقتها

[happy1967]

اسمح لى اخى حسام
تعويضك عن المربع الكامل ب 1 نستنتج قيمتيم لل س :
س^4 +س^3+س^2+س + 1 = 1
س^4+س^3+س^2+س = 0
س ( س^3 +س^2+س +1 ) = 0
س (س+1) ( س^2+1 ) = 0
ومنها س = 0 ، -1
وهككذا لكن عند القيم 4 ، 9 صعب ايجاد قيم س لكن هو ايضا حل بالتجريب لكن هل ممكن نعوض عن المربع الكامل ب ^2
ام هناك صياغه اخرى للمقدار
هذه اول مداخله لى اخوانى الاساتذه الكرام وارجو ان اجد كل ترحيب ان شاء الله

[hosam]

أخى عندك حق ولكن نحاول الوصول لصيغة تحقق الملطلوب

[الفارس الاول]

1 + س^2 +س^3+س^4:ty:
=(س+1)+(س^2+س)+س^4
=(س+1)(ٍس+1)+س^4
=(س+1)^2+(س^2)^2
=((س+1)+س^2)^2 -(4س^3+4س^2)
وحيث ان ناتج المربع الكامل لة جذر تربيعى دائما لوجود التربيع
لذلك لو وضعنا س=2 أو 1 أو 0 أو -1 كان الناتج 1 ولة جذر تربيعى
ولو وضعنا س= -2 كان الناتج 25 لها جذر تربيعى
و -3 تعطى 121
و-4 تعطى 361 وهكذا كل النواتج سيكون لها جذر تربيعى باذن اللة
وعلية تكون قيم س هى س<= 2 حيث س تنتمى الى الاعداد الصحيحة
وشكرا على ما استفادة من كل الاخوة فى هذا الملتقى الرائع

اسامة اديب
مصر الحبيبة

[محمدالزواوى]

الاخوه العزاء :
1+(س+س^2+س^3)+س^4 مربع كامل اذا كانت
الاحتمال(1) س^3+س^2+س = 2س^2 ــــــــــــــــــــ(1)
حيث سيكون المقدار س^4+ 2س^2+1 =(س^2+1)^2
نرجع للعلاقه (1) بلاختصار ستصبح العلاقه
س^3 - س^2+س =0 ومنها س(س^2-س+1)=0ومنها
اما س=0 او س^2 -س+1=0 والمعادله الخيره ليس لها حلول حقيقيه(اوصحيحه بالطبع) ومنها يكون س=0 هو القيمه التى تجعل المقدار مربع كامل
الاحتمال (2)
يكون المقدار مربع كامل اذا كان س^4+س^3+س=2س ـــــــــــــــــــــ(2)
حيث سيكون المقدار على صوره س^2+2س+1 =(س+1)^2
نرجع للعلاقه (2) بلاختصار ستصبح العلاقه
س^4 +س^3 -س=0
س( س^3+س^2 -1)=0منها اما س=0 ودى قيمه حصلنا عليها سابقا او س^3+س^2-1=0
اى س^3+س^2=1 اى المطلوب البحث عن عدد صحيح مربعه +مكعبه =1 وهذا العدد اعقد انه غير موجود اذا القيمه الوحيده عندنا هى
س=0
ارجو بحث هذه الفكره وما بها من صواب او خطا
لاننى اعلم ان هناك قيم اخرى تجعل المقدار مربع كامل مثل -1 و3
ولكم جزيل الشكر [ اخوكم الزواوى]
:ty:

[الفارس الاول]

حلى لم يحالفة الصواب لخطأ فى نقل السؤال

وافكر فى حل اخر
لاثبات ان 0 , 3 , -1 هى الحلول
وشكرا

[omar]

لكى يكون المقدارمربعا كاملا يجب وضعه على الصورة الاتية
(اس2+ب س +ج)2
بالفك ومساواة العوامل
ا2 س4+2 ا ب س3 +(2 ا ج + ب2)س2 + 2 ب ج س+ ج2
بمساواة العوامل
نجد معامل س2 =1
ا2=1
ا=+-1
معامل س3=1
2 ا ب=1
ب=+-1\2
الحد المطلق =1
ج2 =1
ج=+-1
معامل س =1
2 ب ج =1
وهذا متحقق
معامل س2 هو 2اج + ب2
وهو يساوي الواحد
لكنه لايتحقق بالتعويض بالقيم السابقة اي لا يساوي 1
بل يساوي2025
وهذا تناقض
اذن المقدار لا يمكن مساواته بمربع كامل الا
في حاله س= صفر
وهى الحالة الوحيد التى تنعدم عنده المعاملات
والله تعالى اعلم بالصواب

اكيد عندى خطا
لكنها جميلة كسابقتها

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته ..
لاحظ أخي أشرف أنك عندما تساوي العوامل فإنك تطبق قاعدة تساوي حدوديتين وهذا يفترض التساوي لكل قيمة س !!! وهذا خطأ لأن المقدار ليس مربعا كاملا لكل قيمة س .وقد لاحظتك بنفسك أن التساوي غير ممكن !! والذي نريده هو تحديد القيم س التي تجعله مربعا كاملا .
تحياتي .

[omar]

الاخوه العزاء :
1+(س+س^2+س^3)+س^4 مربع كامل اذا كانت
الاحتمال(1) س^3+س^2+س = 2س^2 ــــــــــــــــــــ(1)
حيث سيكون المقدار س^4+ 2س^2+1 =(س^2+1)^2
نرجع للعلاقه (1) بلاختصار ستصبح العلاقه
س^3 - س^2+س =0 ومنها س(س^2-س+1)=0ومنها
اما س=0 او س^2 -س+1=0 والمعادله الخيره ليس لها حلول حقيقيه(اوصحيحه بالطبع) ومنها يكون س=0 هو القيمه التى تجعل المقدار مربع كامل
الاحتمال (2)
يكون المقدار مربع كامل اذا كان س^4+س^3+س=2س ـــــــــــــــــــــ(2)
حيث سيكون المقدار على صوره س^2+2س+1 =(س+1)^2
نرجع للعلاقه (2) بلاختصار ستصبح العلاقه
س^4 +س^3 -س=0
س( س^3+س^2 -1)=0منها اما س=0 ودى قيمه حصلنا عليها سابقا او س^3+س^2-1=0
اى س^3+س^2=1 اى المطلوب البحث عن عدد صحيح مربعه +مكعبه =1 وهذا العدد اعقد انه غير موجود اذا القيمه الوحيده عندنا هى
س=0
ارجو بحث هذه الفكره وما بها من صواب او خطا
لاننى اعلم ان هناك قيم اخرى تجعل المقدار مربع كامل مثل -1 و3
ولكم جزيل الشكر [ اخوكم الزواوى]
:ty:

السلام عليكم ورحمة الله
هذه أخي الكريم حالات خاصة فقط لكي يكون المقدار مربعا كاملا وتوجد حالات أخرى :doh:

[omar]

حلى لم يحالفة الصواب لخطأ فى نقل السؤال

وافكر فى حل اخر
لاثبات ان 0 , 3 , -1 هى الحلول
وشكرا

فعلا أخي الكريم الحلول هي 0 و -3 و 1 .
وهي الحلول الوحيدة للمسألة :wave:

[omar]

مساعدة :
لاحظ أنه إذا كان x لايساوي الصفر يمكن تأطير المقدار بهذا الشكل :


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0893947001164286023.png
بقي الآن مناقشة بعض الحالات ....
بالتوفيق للجميع .

[happy1967]

فى مرة سابقه كان حل المسئله قيمتين 0 ، -1
وهذا حل اخر ولكن ينتج وحيد وهو 3
س^4 +س^3+س^2+س +1 = مربع كامل
يمكن وضعه على صورة:
[ (س^2 +1)^2 +(س^3- س^2 +س - 1) +1 ] = مربع كامل
فيكون الاوسط = جذر الاول × جذر الثالث × 2
(س^2 +1) × 1 = 2( س^3 - س^2 +س -1 )
ومنها ينتج :
س^3 - 3س^2 +س -3 = 0
س^2(س-3) + (س-3) =0
(س-3)(س^2 +1 ) = 0
ومنها س = 3
ولكن كيف يكون هناك طريقتين وكل طريقه تنتج حل مختلف ولكن الحلول مكمله لبعضها وهى : 0 ، -1 ، 3
ولكن باستحدام المساعده السابقه هناك محاوله اخرى ساوردها لاحقا

[happy1967]

باستخدام المساعده من هذه العلاقه :
(س^2 +س/2 )^2 < 1+س+س^2+س^3+س^4<(س^2+س/2+1/2)^2
بعد الفك والاختصار :
س< 4س^2+4س+4 < 5س^2+2س+1
اذا قسمت متياينتين :
4 س^2 +3 س +4 > 0
ليس لها ح فى ص لان المميز سالب
الاخرى :
س^2 - 2س - 3 > 0
( س-3 ) (س +1) > 0
موجبا اذا كان القوسين اشارتهما متشابه
ومنها التجريب يكون بين 3 ، -1 ولكن > يجب ان تكون > او تساوى لناخد القيمتين 3 ، -1 وبالاضافه للصفر

[اشرف محمد]

انا مستمتع بارشاداتك لنا اخى عمر

وهذ الانواع لم نعتدها من المسائل

لذا اتمنى ان تظل ممسكا بعقد الاسئلة
لانك بالتاكيد مفيد لنا جميعا

اقدرك كثيرا اخى العزيز

وربما عرف البعض الان لم تمنيت ان يعرض الاستاذ عمر

المسائل

[محمود طه القالع]

اخواني انتم تقولوا
حدد الاعداد التي تحقق المطلوب
وانا قمت بتحديدها
وهي
صفر ، ـــ 1 ، 3

[محمود طه القالع]

علما بانني قمت بتحديد حلول السؤال السابق وتم حجبة
مش عارف لية
هذة الرسالة للتحكيم

[البروفيسور]

أخي محمود

أهلاً بك

التحديد لا يكون هكذا ,,

بل بالخطوات

و ربما كانت الحلول ناقصة :):):)

بالانتظار

وفقتم لكل خير

[uaemath]

:wave: أخي محمود ،

الشكاوى أخي تتم عبر الخاص للجنة الحكم حسب قانون المنتدى

:ty:

[محمود طه القالع]

انا لا اشتكي فان الشكوي ليس من طباعي
مجرد استفسار فقط

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته .
باستعمال المساعدة : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0946098001164312761.png
والفكرة هنا هي كتابة المقدار مؤطر بين مربعين كاملين !!!
فإذا كان العدد http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0383603001164312877.png صحيحا وهذا يتحقق إذا كان x زوجيا فيكون المقدار مؤطر بين عددين مربعين كاملين متتاليين وهذا مستحيل .
إذن نستبعد تماما القيم الزوجية ل x . طبعا باستثناء الصفر لأن المتفاوتة المزدوجة صحيحة فقط إذا كان x غير منعدم .
بقي هناك القيم الفردية ...
من يكمل الحل ؟؟؟

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته .
في البداية أود أصالة عن نفسي ونيابة عن أعضاء لجنة الحكم أن أشكر الإخوة الأعضاء الذين حاولوا جاهدين حل المسألة وأنـوَه بالحماس العالي و المثابرة الحثيثة للإخوة :
محمد الزواوي - محمود القالع - أشرف محمد - حسام -الفارس الأول و happy1967 .
إليكم إخواني حل السؤال السادس من المسابقة .
فكرة الحل كماأشرت سابقا هي استعمال هذه المتفاوتة المزدزجة :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0749798001164479472.png
طبعا لكل عدد صحيح غير منعدم x .
بالنسبة لإثباتها يكفي نشر وتحويل لنجد متفاوتيين هما :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0115990001164479668.png وهي صحيحة لأن المميز سالب ومعامل الحد الأكبر درجة موجب قطعا
أما المتفاوتة الأخرى فهي تكافئ بعد التحويل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0859619001164479792.png وهذه ايضا صحيحة .
فكرة الحل كما أشرت سابقا هي تأطير المقدار بين مربعين كاملين .
فإذا كان العدد http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0576373001164479911.png صحيحا وهذا يتحقق إذا كان العدد زوجيا فإن المقدار سيكون محصورا بين مربيعين كاملين متتاليين وطبعا هذا مستحيل .
إذن نستبعد الأعداد الزوجية .
إذا كان العدد x فرديا فإن العدد الصحيح الوحيد المحصور بين http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0406636001164480081.png و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0172185001164480119.png هو العدد http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0597924001164480164.png لإن العددين غير صحيحيين وفرقهما الواحد .
إذن يسكون لدينا حتما:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0415759001164480536.png
وبعد النشر نصل إلى المعادلة البسيطة : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0688916001164480714.png وبالتالي إلى الحلول طبعا الفردية : x=-1 وx=3
وفي الأخير لاننسى أننا توصلنا إلى هذه الحلول انطلاقا من متفاوتة صحيحة فقط إذا كان العدد x غير منعدم .
وطبعا إذا كان x منعدما فإن المقدار يكون مربعا كاملا بالتعويض المباشر.
خلاصة الأعداد الصحيحة التي تجعل المقدارhttp://www.uaemath.com/ar/aforum/math0714141001164480923.png مربعا كاملا هي x=0 ;-1 ; 3 .
تحياتي للجميع .

[uaemath]

شكرا أخي omar على حسن العرض و الحل الرائع ،

نتيجة السؤال الرابع كانت :


محمد الزواوي : 5


أشرف محمد : 4



إمام مسلم : 3



القالع : 3



حسـام : 3



ناصـر : 2



الغـول : 2


الفارس الأول: 2


المنقذ : 1


نتيجة السؤال الخامس :

تم حجب النقاط لعدم وجود حل رياضي متكامل بعيد عن التجريب

نتيجة السؤال السـادس :

أشرف محمد : - 1 (لخطأ في الحل )

جميع المشتركين الباقين : لا شيء (لعدم تقديم حلول متكاملة)

و عليه تكون النتيجة :


محمد الزواوي : 5


أشرف محمد : 3



إمام مسلم : 3



القالع : 3



حسـام : 3



ناصـر : 2



الغـول : 2


الفارس الأول: 2


المنقذ : 1



نرحب بألأخ happy1967 لانضمامه إلى المسابقة

[happy1967]

الاخوة الاعضاء واحبائى المشرفين على المسابقه :
انا سعيد جدا لاشتراكى فى المسابقه بل سعيد لوجودى ولى الشرف ان اكون من ضمن اعضاء هذا المنتدى مع العلم انى مشترك من فترة به ولكن لم اكن اشارك لظروف خاصه
واحب ان اسجل اعجابى بكل مايحتويه المنتدى من اقسام وتنوع المسائل والتمارين وبالنسبه لى فانا استفدت كثيرا وساستفيد بوجودى معكم اكيد وارجو ان اكون مصدر استفاده لكم ان شاء الله
:w:

[جارح الوقت]

اخواني ..
بإمكانكم حل السؤال بستخدام لبرايم ..
حيث تفرض بأن المربع سكوير = ص2 ..
وتنقل الواحد في الجهة المقابلة فيصبح كلاآتي
س +س2 +س3 +س4 = ص2-1
س+س2+س3+س4 = ( ص -1) ( ص+1 )
اذا كان ص = عدد أولي فإن صاد يساوي إما 1 أو ص .. وبالتعويض عن ص = 1
س ( 1+ س+س2+س3 ) = 2
س= 1 أو
1+س+س2+س3= 1
إذن لو كان عندنا س= 1 فأصبح لدينا 5= ص2 وهو مروفض اطلاقاً

ولو كان
1+س+س2+س3= 1
أصبح لدينا س +س2+س3 = صفر
س( 1+س+س2) = صفر
س = صفر أو 1+س+س2= صفر
اذن لو كانت س = صفر .. فبالتعويض عن المعادلة 1= ص2 ..وهو أمر طبيعي جداً
1+س+س2= صفر ..
هنا قد دخلنا الى الكومبلكس نمبر ..
س +س2= -1 .. وهذا شيء مرفوض اطلاقاً في الاعداد الصحيحة ..

فلهذا أعتقد بأن حلولكم لسؤال .. ناقص .. فيوجد حل أو حلان في مفقودان .. :) والكلمة لكم ..