متـفــاوتـه مـــن بـنـمـــــــــا

[امام مسلم]

السلام عليكم
متفاوته من بنما

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_55185547.JPG

[امام مسلم]

تم إعادة المرفق مره أخرى
ننتظر المشاركه أخوانى

[ياسين]

هذه محاولتي ارجو التعقيب عن الحل ان كان خاطئا ..
بما ان http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0608778001187736897.png نفترض انه توجد اعداد حقيقية موجبة xوyوz بحيث
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0327524001187736973.png و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0108778001187736997.pngو http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0155715001187737022.png
لدينا حسب المتفاوتة http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0061915001187737188.png
تكافئ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0374404001187737241.png
بما ان abc = 1 فان http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0593175001187737295.png
الان نعوض aوbوc بقيمها فنجد
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0843170001187737623.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0186902001187737725.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0796286001187737785.png
تكافئ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0999405001187737827.png
للبرهنة عن هذه المتفاوتة نستعمل
متفاوتة الوسط الحسابي _ الهندسي
لدينا http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0468161001187737996.png
ادن http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0296290001187738045.png
هذه اول مرة ابرهن عن متفاوتة بطريقة التعويض
:unknown:

[omar]

برافو ياسين حل جميل .

وهذا حل آخر للمسألة :

بنشر الطرف الأيسر نجد :

(a + \frac{1}{b} + 1)(b + \frac{1}{c} + 1)(c + \frac{1}{a} + 1) = 4 + abc + \frac{1}{{abc}} + 2(a + b + c) + (ab + bc + ac) + 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ac}}) + (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})

وباعتبار أن لدينا حسب المعطيات abc=1 :

(a + \frac{1}{b} + 1)(b + \frac{1}{c} + 1)(c + \frac{1}{a} + 1) = 6 + 2(a + b + c) + (ab + bc + ac) + 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ac}}) + (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})

الآن يكفي استخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي عدة مرات :

لدينا :a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3

و ab + bc + ac \ge 3\sqrt[3]{{a^2 b^2 c^2 }} = 3

و \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} = 3

و \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ac}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{a^2 b^2 c^2 }}}} = 3

و \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{a}}} = 3

وبالتالي النتيجة المرجوة : (a + \frac{1}{b} + 1)(b + \frac{1}{c} + 1)(c + \frac{1}{a} + 1) \ge 6 + 2(3) + 3 + 2(3) + 3 + 3 = 27

[امام مسلم]

الأخوين ياسين & عمر
بارك الله لكما

[ياسين]

حل رائع اخي عمر .
شكرا اخي امام على المتفاوتة الجميلة .
تحياتي