المسابقة الرياضية(1)-السؤال 8

[uaemath]

السـؤال الثـامـن بـواسـطـة لـجـنـة الحـكـم

بدون اسـتـخـدام أي جهـاز للحـسـابات ، أثـبـت أنّ الـكمـية:

http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_24535658.jpg

هـي عـدد صحـيـح ،حيث ط = باي = http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0827292001164473886.png


Without using Calculators or Computers , show that:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0569081001164473687.png

is an integer

بالتـوفـيـق للجـمـيـع

[uaemath]

النقاط حتى الان :


محمد الزواوي : 6


أشرف محمد : 5



إمام مسلم : 3



القالـــــــــع : 3



حســــــام : 3



ناصــــــر : 2



الغـــــــــول : 2


الفارس الأول: 2


هابي1967: 1


المنـقــــذ : 1


:clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

[uaemath]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=163

[uaemath]

السلام عليكم ،

باقي أقل من ساعة على موعد السؤال التاسع :s:

سنطرح التاسع و نترك باب الثامن مفتوحا على مصراعيه :d

إن شاء الله

[محمود طه القالع]

السـؤال الثـامـن بـواسـطـة لـجـنـة الحـكـم

بدون اسـتـخـدام أي جهـاز للحـسـابات ، أثـبـت أنّ الـكمـية:

http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_24535658.jpg

هـي عـدد صحـيـح ،حيث ط = باي = http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0827292001164473886.png


Without using Calculators or Computers , show that:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0569081001164473687.png

is an integer

بالتـوفـيـق للجـمـيـع

شيء غريب بعد محاولات كثير للوصول باي قوانين لم استطيع
فجربت الالة الحاسبة لايجاد القيمة فوجدتها
0.003006503
فكيف يكون عدد صحيح
فعلا شيء غريب

[محمود طه القالع]

ارجو التفسير
هل الالة خطا ام انا الي خطا

[omar]

العدد هو 11 ولقد تأكدت من ذلك مستعينا بالبرنامج الشهير maple .
تحياتي .

[uaemath]

ارجو التفسير
هل الالة خطا ام انا الي خطا

لا أخي ،

بعض الألات الحاسبة محدودة ، أي تعطيك جواب الكمية لعدد محدد من الخانات و لذلك

لا تكون النتيجة دقيقة

العدد هو 11 ولقد تأكدت من ذلك مستعينا بالبرنامج الشهير maple .
تحياتي .

شكرا أخي عمر ، صحيح

[uaemath]

قمت باستخدام Casio fx -82MS و هي ألة حاسبة عادية :


http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_84318848.JPG

[اشرف محمد]

السلام عليكم
هناك مايسمى باجمل علاقة رياضيه
و ^{ت ط}+1 =0

حيث و تساوى ثابت ايلر و ت =جذر -1
ط النسبه التقريبية
و ^{ت ط} =-1

من المعلوم ان
جا س =(و ^{ت س} - و^{- ت س} ) \(2ت)
ظا س =(و ^{ت س} - و^{- ت س})\ ت (و ^{ت س} + و^{-ت س})

نفرض ان
و ^{ت ط \11} = ص

اذن ص¹¹=-1


المقدار المطلوب قبل التربيع
ظا (3 ط\11) + 4 جا (2 ط \11)=
(ص³ - ص^-3)\ ت(ص³+ص^-3) +4(ص² -ص ^-2)\2ت
باعتبار ان قوي ص هى جذور للواحد



لا ادري اكمل ام لا

[اشرف محمد]

السلام عليكم
توصلت لحل باستخدام جذور الوحدة لكنه طويل جدا لكن هناك حل اخر اعرضه عليكم


نفرض ا ن (ظا (3 ط\11) + 4 جا (2 ط \11))^2=ص



ملحوظة 2 التى بعد جتا تعنى تربيع


بضرب الطرفان في 2جتا2(3ط\11)

سافرض للتسهيل ط\11=س
العلاقة تصبح(طا3س +4جا2س)2=ص
بفك التربيع
(طا3س)^2 +8طا3س جا2س +16(جا2س)^2

بضرب كل حد في 2جتا2(3س)


مع ملاحظة ان طا=جا\جتا
2جتا2(3س)*(جا3س\جتا3س)^2=


بالاختصار= 2 (جا3س)^2=2-2 (جتا3س)^2
=2-(جتا6س +1)=1-جتا 6س -------------- 1


ثم نضرب8طا3س جا2س ايضا في 2جتا2(3س)
8جا3س\جتا3س *جا2س*2جتا2(3س)=بالاختصار
8(2جتا3س*جا3س)*جا2س
8جا6س*جا2س ثم نستخدم قاعدة 2جا س جا ص المعروفة
4( - جتا 8س + جتا 4 س)=


- 4جتا 8س +4جتا4س--------------------------2


ثم نضرب الحد الثالث في 2جتا2(3س)

2جتا2(3س)*16جا2(2س)


=8(2جتا3س*جا2س)^2
=8(جا5س-جاس)^2



=8(جا2(5س) -2جا 5س*جاس + جا2(س))

ثم بالاختصار
8 - 8جتا2(5س) +8 جتا 6س - 8 جتا4س +8 -8جتا2(س)


ثم باستخدام قانون 2جتا2(س)=جتا2س +1

نحصل على


8-4جتا10س +8جتا 6س -8جتا 4س -جتا2س ----------3


بجمع العلاقات 1و2و3

واضافة وطرح 4جتا6س
ينتج
9 -4(جتا2س +جتا4س+جتا6س+جتا8س) +11جتا 6س



ولكن المقدار داخل القوس =-1\2

ويمكن اثباتها بسهولة



=11+11جتا 6س=11(1 +جتا6س)
=11(2جتا2(3س))
وهى المقدارالذي تم الظرب فيه
وبحذفه من الطرفان ينتج ان

(طا3س +4 جا2س)^2=11

والسلام عليكم

[uaemath]

حل اللجنة

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_20644531.jpg

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_44912109.jpg