المسابقة الرياضية-15 مكرر

[uaemath]

السؤال الخامس عشر مكرر من لجنة الحكم


أوجد قيمة أ > 0 إذا كان :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0185831001166114280.png

عددا صحيحا

================================================== ================================================== ======

Determine the positive number a such that

http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_50910645.jpg

is an integer

بالتوفيق للجميع

[اشرف محمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نفرض ان س=ج3(3+ج ا)
اذن س3=3+ج ا
بالمثل ص=ج3(3-ج ا)
اذن ص3=3-ج ا
س+ص =عدد صحيح
س3 +ص3 مما سبق =6
س3+ص3=(س+ص)(س2 -س ص +ص2)=6
ولكن س+ص =عدد صحيح اذن (س2 -س ص +ص2) عددصحيح
ايضا وكلاهما يساوى قاسم للعد د 6


اذن س+ص=1 او 2 او 3 او 6

لناخذ س+ص=1 اذن (س2 -س ص +ص2)=6
وهذه المعادلة يمكن تعديلها(س+ص)2 - 3س ص=6
ثم بحل المعادلتين معا
مع وضع ص=1-س
1 -3س(1-س)=6
1-3س+3س2=6
3س2 -3س -5=0
بالحل بالقانون

س =(3+ج69)\6 والقيمة السالبة مرفوضة لان س موجبة داثما

ولكن س3=3+ج ا
ج ا=س3 - 3

ا=(((3+ج69)\6 )^3 -3)^2
ثم بوضع س+ص=2
ينتج ص=2 -س
4 -3س(2-س)=3

3س2 -6س +1=0
س =(6+ج 24)\6

ا=(((6+ج 24)\6)^3 -3)^2
ثم نضع س+ص=3 ثم تساوي 6

ونوجد القيم المناظرة

والله اعلم

[اشرف محمد]

عند س+ص =1
فان ا = 6 و 13 تقريبا
عند س+ص=2
ا =9و8 ثمانية و تسعة من عشرة تقريبا

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأخوة الكرام
هذا تعميم لحل أخى الكريم الأستاذ أشرف
بداية حل الأستاذ أشرف
=====
نفرض ان س=ج3(3+ج ا)
اذن س3=3+ج ا
بالمثل ص=ج3(3-ج ا)
اذن ص3=3-ج ا
س+ص =عدد صحيح
س3 +ص3 مما سبق =6
س3+ص3=(س+ص)(س2 -س ص +ص2)=6 ....(1)
=====

ولتعميم الحل نتبع الخطوات الأتية
بوضع س + ص = ك & ص = ك – س ..... (2)
حيث البارمتر ك هو عدد صحيح قاسم للعدد 6
ك ينتمى لمجموعة الأعداد { 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 6 , -6 }
بالتعويض من (2) فى (1) نحصل على
ك ( ك2 – 3 ك ( ك-س)) = 6
3 ك س2 – 3 ك2 س + ك3 – 6 = 0
مميز هذه المعادلة
ز= 9 ك4 – 12 ك4 + 72ك = 3ك(24 – ك3)

ز < صفر لجميع قيم ك ما عدا ك=1 & ك=2

أى أنه لا يوجد غير قيمتان حقيقتان موجبتان للعدد س

مما يقتضى وجود قيمتان حقيقتان موجبتان للعدد أ


===

ثم يكمل الحل كما ذكره الأستاذ أشرف

شكرا للجميع

[uaemath]

شكرا أخي استاذ الرياضيات على التعميم

+ 1 نقطة :clap:

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الشكر لك أخى الكريم

ولكن ماذا عن السؤال العاشر

تمنياتى لكم بالتوفيق

[uaemath]

أهلا أخي ،

تم حسابه ، رجاء قراءة الموضوع التالي :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3321&page=2

[استاذ الرياضيات]

أهلا أخي ،

تم حسابه ، رجاء قراءة الموضوع التالي :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3321&page=2


شكرا أخى الكريم
هذه درجة السؤال الحادى عشر وليس العاشر

[uaemath]

شكرا أخي ،

+ 3 نقاط

العتب على النظر :doh:

[uaemath]

حل اللجنة

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_60061035.jpg