المسابقة الرياضية(1)-السؤال18

[uaemath]

السلام عليكم ،

نتيجة السؤال الثالث عشر :
استاذ الرياضيات : 3 نقاط
الزواوي : 1 نقطة ( حل أخر )

نتيجة السؤال الرابع عشر :

استاذ الرياضيات : 3 نقاط (حل أول متكامل )

نتيجة السؤال الخامس عشر - مكرر : اشرف محمد : 3 نقاط
استاذ الرياضيات : 1 نقطة


نتيجة السؤال السادس عشر :
هابي1967: 3 نقاط

الزواوي : 3 نقاط ( 3 حلول أخرى )

حسام محمد : 1 نقطة ( حل أخر)

نتيجة السؤال السابع عشر :
الزواوي : 3 نقاط

ملحوظة : جميع الأسئلة السابقة ما زالت مفتوحة،من يضع حلا مختلفا يكسب نقطة .



و عليه تكون النتيجة :


محمد الزواوي : (+1 حل أخر للسؤال 1)18


استاذ الرياضيات : 15



أشرف محمد : 9



هابي1967: 8



القالـــــــــع : 4




إمام مسلم : 3




حســــــام : 3



ناصــــــر : 2



الغـــــــــول : 2


الفارس الأول: 2


المنـقــــذ : 1



حسام محمد : 1


:clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

تـرّ قـبوا السؤال الثامن عشر اليوم مساءّ كالعـادة

[uaemath]

السؤال الثامن عشر من لجنـة الحـكـم

أوجد قيمة التكامل :

http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_19123535.GIF

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0217071001166374724.png

ن:n عدد صحيح موجب


cos x = جتا س

ط = باي = http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0654560001166374945.png

بالتوفيق للجميع

[محمود طه القالع]

يا بوي سؤال 18
اوكي
الواحد علي كدة بقالو كتير غايب

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

حيث أن

حا 2س = 2 جا س جتا س

حا 4س= 2 جا 2س جتا 2س
= 4 حا س جتا س جتا 2س

جا 8 س = 2 جا 4 س جتا 4 س
= 4 حا 2 س جتا 2 س جتا 4 س
= 8 حا س جتا س جتا 2س جتا 4 س
.....
.....
وبتعميم العلاقات السابقة نستنتج أن
جا ( 2^ن × س) = 2^ن جا س جتا س حتا 2س جتا 4 س .... جتا [(2^(ن-1) ×س]


وعلى ذلك يمكن وضع المقدار بداخل التكامل على الصورة

= جا ( 2^ن × س) جتا( 2 ^ ( ن -1 )× س) ÷ 2^ن جا س

=0.5 [ جا (مجموع الزاويتان ) + جا (الفرق بينهما) ]÷ 2 ^ ن جا س

= [ جا (2 ^(ن +1) - 1 ) س + جا س ] ÷ 2^(ن+1) جا س

= [ جا (2 ^(ن +1) - 1 ) س ]÷ 2^(ن+1) جاس + [ 1÷ 2 ^( ن + 1 )]

وناتج تكامل الجزء الثانى من المفدار السابق = س ÷ 2 ^(ن+1)

وبالتعويض بحدود التكامل يكون ناتج التكمل المحدد لهذا الجزء = ط ÷ 2 ^(ن+1)

وجارى بحث تكامل الجزء الأول

وإن كان يغلب على ظنى أنه لو كان المقدار الأصلى بداخل التكامل مضروب فى جاس لأصبح التكامل ممكن بيسر

شكرا لكم

[استاذ الرياضيات]

ه
الحمد لله الذى بنعمته تتم السالحات

تابع حل الجزء الأول من التكامل


وصلنا المقدار بداخل التكامل

= جا ( 2^ن × س) جتا( 2 ^ ( ن -1 )× س) ÷ 2^ن جا س

=0.5 [ جا (مجموع الزاويتان ) + جا (الفرق بينهما) ]
÷ 2 ^ ن جا س

= [ جا (2 ^(ن +1) - 1 ) س + جا س ]
÷ 2^(ن+1) جا س

= [ جا (2 ^(ن +1) - 1 ) س ]÷ 2^(ن+1) جاس
+ 1 ÷ 2 ^( ن + 1 )

والتكامل المحدد للجزء الثانى من هذا المفدار = ط ÷ 2 ^ (ن+1)

أما الجزء الأول من هذا التكامل فهذه محاولة لفك طلاسمه وتكمن فى وجود حاس فى المقام

وإليكم الفكرة التالية

يمكن بإستخدام الأعداد المركبة إيجاد مفكوك للدالتان

جا ن س & جتا ن س

يدلالة جاس & جتا س

حيث ن عدد صحيح موجب

وذلك بإستخدام نظرية دى موافر

جا (م س) + ت جا (م س) = ( جتا س + ت جا س) م
و بفك الطرف الأيسر بواسطة ذات الحدين
ثم مساواة الحقيقى بالحقيقى والتخيلى بالتخيلى
مع مراعاة العدد ن من حيث كونه فردياً أو زوجيا

( سوف أستخدم الرمز م ق ر للدلالة على التوافيق)

وفى حالة م عدد فردى نجد أن

جا م س = م ق 1 (جتا س) ^ (م-1) × جا س

- م ق 3 ( جتا س) ^ (م-3) × (جا س)^3

+ ...........

+ (-1) ^ ((م-2)\2) × ( جاس) ^م

بوضع 2 ^ (ن+1) - 1 = م نحصل على مفكوك لبسط الجزء الأول داخل التكامل حيث يسهل التخلص من جا س بمقام الكسر
بحيث يسهل إجراء التكامل

الجزء الأول بداخل التكامل

= [جا (م س) ]÷(م-1)جاس

[م ق 1 (جتا س) ^ (م-1) × جا س

- م ق 3 ( جتا س) ^ (م-3) × (جا س)^3

+ ...........

+ (-1) ^ ((م-2)\2) × ( جاس) ^م ] ÷ ( م -1 ) جاس بالقسمة على جا س

= [م ق 1 (جتا س) ^ (م-1)

- م ق 3 ( جتا س) ^ (م-3) × (جا س)^2

+ ...........

+ (-1) ^ ((م-2)\2) × ( جاس) ^ (م-1) ] ÷ ( م -1 )

وهذا الجزء الأخير يسهل تكامله لوجود صيغ لتكامل الدوال للصور الأتية

( جتا س ) ^ م ءس

(جا س)^ن ءس

( جتا س ) ^ م × (جا س)^ن ءس

تعبت من الكتابة يكمل لاحقا

[uaemath]

الله يعطيك العافية أخي استاذ الرياضيات ،

قد يهمك أن تعلم أن جواب التكامل = ط / 2 ^{ن - 1}

[uaemath]

حل اللجنة

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_38977051.jpg