المسابقة الرياضية(1)-السؤال19

[uaemath]

السؤال التاسع عشر من لجنـة الحـكـم

مثلث قائم الزاوية جميع أضلاعه أعداد صحيحة و أقصر ضلع فيه طوله 2001

أوجد أقصر طول للضلع الأخر (غير الوتر)

بالتوفيق للجميع

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الحمد لله الذى تتم بنعمته الصالحات

ضلع القائمة الأكير = 2002000
طول الونر = 2002001

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الحمد لله الذى تتم بنعمته الصالحات

ضلع القائمة الأكير = 2002000
طول الونر = 2002001

فكرة الحل نشأت من ملاحظة متتابعة طول أقصر ضلع للمثلثات االقائمة الأتية

3 , 4 , 5
5 , 12 , 13
7 , 24 , 25
9 , 40 , 41
11 , 60 , 61
13 , 84 , 85
.
.
.
2001 , س , س+1

ومنها س = 2002000 وهو طول ضلع القامة المطلوب
وطول الوتر = 2002001

شكرا للكم

[اشرف محمد]

السلام عليكم
اقل العداد الصحيحة 3و4و5
لان المثلث المتساوى الساقين به جذر2
نفرض ان الاضلاع
2001 و2001 +س و 2001+ص
العدد 2001 من مضاعفات 3
الاضلاع (3في 667 ) و ( 3في 667 +س ) و( 3 في 667 +ص)
بالقسمة على 667
الاضلاع( 3 ) و (3+س\667) و ( 3 +ص\ 667
لكى يشابه المثلث 3و4و 5
س\667 =1 و ص\667=2
س=667 و ص=1334
الاضلاع 2001 و2001+667 و 2001 +1334
اقل ضلع2668

[اشرف محمد]

سؤال
لماذا كلمه الوتر
معروف ان الوتر اكبر ضلع

[محمدالزواوى]

الاخوه الاعزاء: من المعروف ان الاطوال 3 ، 4 ، 5 هى اطوال مثلث قائم
وكذاك مضاعفات هذه الاعداد تكون مثلثات قائمه
ومن الواضح ان اصغر ضلع فى المثلث الموجود فى التمرين وهو 2001
احد مضاعفات العدد 3 ( حيث 2001 / 3=667)
اذا ضلع القائمه الثانى هو = 4 × 667 =2668
وهذا هو الضلع المطلوب
اما الوتر سيكون = 5×667 =3335
الان نتحقق من القيم مربع الوتر=(3335)^2=11122225 ـــــــــــــ(1)
مجموع مربعى ضلعى القائمه = (2001)^2+(2668)^2
= 4004001 +7118224 =11122225 ـــــــــــ(2)
من(1)، (2) المثلث ذو الاطوال 20001 و[ 2668] و 3335
مثلث قائم اطوال اضلاعه جميعها صحيحه
يعنى اقصر طول للضلع الاخر غير الوتر هو 2668
ولكم جزيل الشكر [ اخوكم محمد الزواوى]:ty: :wave: :yea:

[uaemath]

سؤال
لماذا كلمه الوتر
معروف ان الوتر اكبر ضلع

لمجرد التنبيه أخي :ty:

[uaemath]

السلام عليكم ،

استخدام خاصية ( 3 ، 4 ، 5 ) لإيجاد ( 2001 ، 2668 ، 3335 ) و ملاحظة ذلك

لا يبرهن أن 2668 هو أقصر طول ممكن بعد الـ 2001 :scorched:

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يبدو أن طريقتى لا تصلح إلا فى حالة أصغر ضلع عدد أولى

[اشرف محمد]

معك حق اخى المشرف
ولكن اخى العزيز انا ذكرت ان
الاضلاع (3في 667 ) و ( 3في 667 +س ) و( 3 في 667 +ص))


ثم لكى تكون الاعداد صحيحة لابد ان س و ص
كل منهما يقبل القسمة على 667
واقل عدد يحقق ذلك الصفر وهو لا يصلح لان المثلث لن يكون قائما
اذن اقل عدد بعده هو 667 لان اى عدد اخر
سيجعل المقدار كسر
ولكن لماذا نقسم المثلثات مهما كبرت بنسب ثابتة فهى متشابهة
وخصوصا اذا لم تكن اعداد اوليه فالقسمه تعطى كسور مع الاعداد الاوليه
اما 2001 ليس اوليا فله ما يشابه
ورغم ذلك قد يوجد مايشابهه به كسور
ولكن القيمه التى تلغي الكسور هي مضاعفات العدد667
ومنها الصفر الذى لايصلح اذن اقل قيمة للقسمة على 667
هى 667
والله اعلم

[استاذ الرياضيات]

السلام عايكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات
الفكرة السريعة التى أوردت بها الحل السابق توجد أكبر ضلع قائمة ممكن مع الضلع 2001 ليكون المثلث قائم وهو 2002000

للحصول على جميع المثلثات القائمة التى ضلع القائمة الأصغر هو 2001
نتبع الخطوات الأتية
العوامل الأولية للعدد 2001 = 3 × 23 × 29
بفرض أن أضلاع المثلث المطلوب 2001 , س , س +أ
بتطبيق نظرية فيثاغورس وإيجاد س بدلالة أ نجد أن
س =0.5 [ ( 2001^2 ÷ أ) – أ] .....(1)
ولكى يكون الناتج عدد صحيح يجب أن يكون
أ عامل من عوامل 2001^2 (لاحظ أن ناتج مابداخل القوس الكبير عدد زوجى)

أ هو ينتمى لمجموعة الأعداد
{ 1 , 3 , 9 , 23 , 29 , 69 , 87 , 207, 261 , 529 , 667 , 841 , ... , 2001^2 }
أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
عندما أ = 1 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 2002000 ,2002001)وهو طول أكبر ضلع قائمة ممكن
عندما أ = 3 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 667332 ,667335)
عندما أ = 9 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 222440 , 222449)
عندما أ = 23 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 87032 , 87055)
عندما أ = 29 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 69020 ,69049)
عندما أ = 69 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 28980 , 29049)
عندما أ = 87 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 22968 ,23055)
عندما أ = 207 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 9568 , 9775)
عندما أ = 1 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 2002000 ,2002001)
عندما أ = 261 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 7540 , 7801)
عندما أ = 529 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 3520 , 4049)
عندما أ =667 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 2668 , 3335) وهو الحالة المطلوبة
يلاحظ أن إذا كانت أ >= 29^2 = 841
نحصل على ضلع قائمة أصغر من 2001
عندما أ = 841 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 1960 , 2801)
وبهذا التحليل بكون قد ثبت أن الحالة المطلوبة هى
(2001 , 2668 , 3335) وهو الحالة المطلوبة

شكرا لكم

[استاذ الرياضيات]

السلام عايكم ورحمة الله وبركاته

الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات
برهان ما سبق
كما بينا فى المشاركة السابقة فإن طول الضلع المطلوب يمكن الحصول عليه من المعادلة
س =0.5 [ ( 2001^2 ÷ أ) – أ] .....(1)

حيث أ عامل من عوامل 2001^2 (

أى أن العدد أ ينتمى لمجموعة الأعداد

{ 1 , 3 , 9 , 23 , 29 , 69 , 87 , 207, 261 , 529 , 667 , 841 , .. , 2001^2 }
ويمكن وضع المعادلة السابقة على صورة الدالة
س = د(أ)
وببحث المشقة الأولى لهذه الدالة نجد أن
دَ(أ) = - (أ^2 + 2001^2) ÷2 أ^2
وهى سالبة دائما لجميع قيم أ
أى أن الدالة تناقصية دائما لجميع قيم أ
وللحصول على أصغر قيمة لطول الضلع س بحيث س > 2001 نضع
س =0.5 [ ( 2001^2 ÷ أ) – أ] > 2001
ومنها نجد أن س أصغر ما يمكن عندما أ=667
أما إذا كانت أ > 667 أى أن أ 841 = <
يكون طول الضلع س < 2001

و عندما أ =667 تكون أطوال أضلاع المثلثات الناتجة هى كما يلى
(2001 , 2668 , 3335) وهو الحالة المطلوبة

شكرا لكم

[محمدالزواوى]

الاخ العزيز : (1) نوعيه التمرين من التمارين الغير منهجيه اى التى لا تعتمد على منهج معين فى الحل
(2)المطلوب ايجاد اقصر طول للضلع الاخر غير القائمه باى طريقه
وليس المطلوب اثبات ان طول الضلع المطلوب كميه معينه
اذا ايجاد طول الضلع المطلوب بدقه ومنطقيه دون النظر للطريقه
اعتقد انه امر لا غبار عليه والراى الاول والاخير لكم وللجنه الحكم
(3) ارجوا ملاحظه ان من يضع حلا خطء يخصم منه نقطه حسب القوانين
(4) لاادرى هل تمارين المسابقه التى مر عليها وقت المسابقه ولم
تحل عند وضع حل لها رغم مرور الوقت المتاح لها يحسب له 3 درجات ام درجه واحده (هذا مجرد استفسار)
(5) بالنسبه للسؤال الاول انا وضعت حل له هل حضرتك اضطلعت عليه لم لا واخيرا لكم جزيل الشكر [ اخوك الزواوى]:ty:

[uaemath]

الاخ العزيز : (1) نوعيه التمرين من التمارين الغير منهجيه اى التى لا تعتمد على منهج معين فى الحل
(2)المطلوب ايجاد اقصر طول للضلع الاخر غير القائمه باى طريقه
وليس المطلوب اثبات ان طول الضلع المطلوب كميه معينه
اذا ايجاد طول الضلع المطلوب بدقه ومنطقيه دون النظر للطريقه
اعتقد انه امر لا غبار عليه والراى الاول والاخير لكم وللجنه الحكم
واخيرا لكم جزيل الشكر [ اخوك الزواوى]:ty:

شكرا أخي محمد ،

فيها وجهة نظر و رأيي الشخصي أنه يجب أن يتم إثبات أن 2668 هو الأقصر

بطريقة رياضية و لكن الراي الاخير لتصويت لجنة الحكم

(3) ارجوا ملاحظه ان من يضع حلا خطء يخصم منه نقطه حسب القوانين

معلوم و لكن إذا لاحظت ذلك ، لك كامل الحق في التعليق و ستنظر اللجنة

الحكم في الموضوع
(4) لاادرى هل تمارين المسابقه التى مر عليها وقت المسابقه ولم
تحل عند وضع حل لها رغم مرور الوقت المتاح لها يحسب له 3 درجات ام درجه واحده (هذا مجرد استفسار)

يحسب له 3 نقاط طالما أنه الحل الأول


(5) بالنسبه للسؤال الاول انا وضعت حل له هل حضرتك اضطلعت عليه لم لا واخيرا لكم جزيل الشكر

سيتم زيادة نقطة لمجموع نقاطك

شكرا لك

[محمدالزواوى]

الاخ العزيز: المشرف العام
الف شكر لك لسعه صدرك والرد بوضوح على كل ملا حظاتى
وانا كلى ثقه بعداله كل اعضاء لجنه التحكيم وانا ممتن لكم جميعا
على هذه المسابقه التى اخذت منى معظم وقتى وافادتنى انا شخصيا
بالكثير واخيرا للجميع منى كل تحيه وتقدير [ اخوك الزواوى]:ty:

[uaemath]

بواسطة أشرف محمد

السلام عليكم
اقل العداد الصحيحة 3و4و5
لان المثلث المتساوى الساقين به جذر2
نفرض ان الاضلاع
2001 و2001 +س و 2001+ص
العدد 2001 من مضاعفات 3
الاضلاع (3في 667 ) و ( 3في 667 +س ) و( 3 في 667 +ص)
بالقسمة على 667
الاضلاع( 3 ) و (3+س\667) و ( 3 +ص\ 667
لكى يشابه المثلث 3و4و 5
س\667 =1 و ص\667=2
س=667 و ص=1334
الاضلاع 2001 و2001+667 و 2001 +1334
اقل ضلع2668

الاخوه الاعزاء: من المعروف ان الاطوال 3 ، 4 ، 5 هى اطوال مثلث قائم
وكذاك مضاعفات هذه الاعداد تكون مثلثات قائمه
ومن الواضح ان اصغر ضلع فى المثلث الموجود فى التمرين وهو 2001
احد مضاعفات العدد 3 ( حيث 2001 / 3=667)
اذا ضلع القائمه الثانى هو = 4 × 667 =2668
وهذا هو الضلع المطلوب
اما الوتر سيكون = 5×667 =3335
الان نتحقق من القيم مربع الوتر=(3335)^2=11122225 ـــــــــــــ(1)
مجموع مربعى ضلعى القائمه = (2001)^2+(2668)^2
= 4004001 +7118224 =11122225 ـــــــــــ(2)
من(1)، (2) المثلث ذو الاطوال 20001 و[ 2668] و 3335
مثلث قائم اطوال اضلاعه جميعها صحيحه
يعنى اقصر طول للضلع الاخر غير الوتر هو 2668
ولكم جزيل الشكر [ اخوكم محمد الزواوى]:ty: :wave: :yea:

أخي الزواوي ، لا يمكن اعتبار حلك كحل أخر و ذلك بسبب التشابه الشديد

مع حل الأخ أشرف محمد

و عليه : 3 نقاط للأخ أشرف

أخي استاذ الرياضيات ، لا يعتبر حلك الأول صحيحا لأنه لا يجيب على السؤال

و لم نعتبره خطأ كذلك لأن ليس به خطأ رياضي و عليه لن نحسم نقطة بسببه

اما حلك الثاني فلا نقاط و ذلك بسبب عدم تكامل الحل (التجريب)

بالنسبة للحل الثالث ستمنح عليه 1 نقطة كحل أخر

[uaemath]

حل اللجنة

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_49843750.jpg

[mohey]

:ty:السؤال التاسع عشر من لجنـة الحـكـم

مثلث قائم الزاوية جميع أضلاعه أعداد صحيحة و أقصر ضلع فيه طوله 2001

أوجد أقصر طول للضلع الأخر (غير الوتر)

بالتوفيق للجميع

[mohey]

من ثلاثيات الشهيرة 2ن+1 ، 2ن2 +2ن ، 2ن2 + 2 ن +1 وطول ضلع القائمة الاصغر هو 2ن +1 = 2001 اذن ن=1000
طول ضلع القائمة الاخر = 2ن2 +2ن = 2000000+2000= 2002000