المسابقة الرياضية(1)-السؤال22

[uaemath]

السؤال الـ : 22 من لجنـة الحـكـم

أثبت أن المستقيم أ س + ب ص + جـ = صفر

حيث أ ، ب و جـ أعداد صحيحة مفردة

لا يمكن أن يتقاطع مع المنحنى ص = س²
(س تربيع)

في نقطة إحداثياتها أعداد نسبية

بالتوفيق للجميع

[محمدالزواوى]

اخى : معنى صحيحه مفرده ( صحيحه مختلفه ام صحيحه فرديه)
[ اخوك الزواوى]:ty:

[uaemath]

صحيحة فردية ( عكس زوجية )

شكرا

[محمدالزواوى]

اخى المشرف العام سوف احل التمرين على ان الصحيحه المفرده هى صحيحه فرديه
الحل : نقط تقاطع المستقبم ا س + ب ص + جـ =0 معى منحنى الداله
ص=س^2 هى مجموعه حل المعادلتين
اذا بالتعويض عن ص= س^2 فى معادله المستقيم نحصل على المعادله
ب س^2 + ا س + جـ =0 وبحلها نحصل على قيم س
الن المطلوب ان قيم س لا يمكن ان تكون نسبيه
لكى تكون جذور المعادله نسبيه يجب ان يكون المميز مربع كامل
حيث س = -أ +او جذر أ^2 -4 ب جـ (لاحظ تغير الثوابت حسب المعادله)
والمميز هو أ^2 -4 ب جـ المفروض = مربع كامل
بفرض ا = 2ن +1 عدد فردى ، ب= 2ق +1 عددفردى ،ج = 2 ك+1 عدد فردى
اذا ( 2ن+1)^2 - 4(2ق+1)(2ك+1) = المميز
= 4ن^2 +4 ن -16 ق ك - 8 ق - 8 ك - 3
= 8[ ن (ن+1) /2 - 2 ق ك - ق - ك - 1] +5
لاحظ ان ن(ن+1) تعطى عدد صحيح لان ن ، ن +1 متتاليان اذا احدهما لابد ان يكون زوجى يقبل القسمه على 2
اذا المميز فى هذه الحاله عدد فردى ناتج 8 × عدد صحيح + 5 = عدد فردى
اذا لابد ان يكون مربعا لعدد فردى حتى تكون جذور المعادله نسبيه
وبم ان اى مربع لعدد فردى يكون باقى قسمته على 8 = 1 (يمكن اثباتها)
وبما ان باقى قسمه المميز على 8 يعطى باقى 5 كما اوضحنا سابقا
اذا لا يمكن ان يكون المميز عدد ا مربعا
اذا حلول المعادله لا يمكن ان تكون نسبيه
اذا س لا يمكن ان تكون نسبيه اذا نقط تقاطع المستقيم مع المنحنى لا يمكن ان تكون نسبيه
ولكم جزيل الشكر [ اخوكم الزواوى]
(مستعد لايضاح اى خطوه مره اخرى مع الاحتفاظ بترتيب اضافه الحل):ty:

[اشرف محمد]

السلام عليكم
المعادله بفرض تحققها تصبح
اس +ب س^2 +ج=0
نفرض ان س فردى
اذن مربعه فردى
(فردى في فردى)+(فردي في فردى)=زوجى
ولكن ج فرديه اذن العلاقه لا تتحقق عند س فردى
(فردى في زوجى)+(فردى في زوجى)=زوجى
ولكن ج فرديه
وكذلك بالنسبة للكسور فيمكن اعتبارها فردية او زوجية
لكن المشكلة بالنسبة للجذور
واعتقد لذلك تم استبعادها

[محمدالزواوى]

لقد حليت المسابقه على ان المعاملات فرديه كما اوضحت حضرتك ارجوا
افادتى برؤيتك للحل ولك جزيل الشكر [اخوك الزواوى]:ty:

[حسام محمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

واضح أنه في حال تقاطع المستقيم أس+ب ص+جـ=0 مع المنحني ص=س^2

ستحقق سينات كل نقطة تقاطع المعادلة : ب س^2+أس+جـ=0

لنفترض جدلاً أن س=ط\ل

حيث ط،ل أوليان فيما بينهما (ومنه أحدهما زوجي والآخر فردي) ولنعوض :

ب(ط\ل)^2+أ(ط\ل)+جـ=0 ومنه: ب ط^2+أط ل+جـ ل^2=0

بفرض ا = 2ن -1 عدد فردى ، ب= 2ق -1 عددفردى ،ج = 2 ك-1 عدد فردى
(هذا الفرض منسجم مع معطيات المسألة) بالتعويض:

(2ق-1)ط^2+(2ن-1)ط ل +(2ك-1)ل^2=0

ومنه: 2[ق ط^2+ن ط ل+ك ل^2]=ط^2+ط ل +ل^2

أي أن : ط^2+ط ل +ل^2 عدد زوجي لكن:

ط ، ل أحدهما زوجي والآخر فردي

أي أن جداؤهما زوجي ومجموع مربعيهما فردي

وبالتالي ط^2+ط ل +ل^2 عدد فردي

وهذا مايناقض الفرض الجدلي وبالتالي لايمكن أن يكون س عدد نسبي

وشكراً لكم استفدت في الحل من حل من سبقني الأخ محمد الزواوي

والشكر للجميع

[اشرف محمد]

اخى العزيز محمد
الحل ناقشت فيه الزوجى والفردى
حيث ذكرت ان س فرديه ومربعها فردي
ثم س زوجية ومربعها زوجى
بفرض ان ا ب ج فرديه
وقلت ان الاعداد النسبية يمكن تحويلها الي فردية او زوجية
فالعدد 1\2 يمكن ضرب جميع الاطراف في 2
والعدد 4\3 يمكن ضرب جميع الاطراف فى 3
وهكذا

[uaemath]

شكرا أخي الزواوي : 3 نقاط

شكرا أخي حسام على الحل الرائع : 1 نقطة

أخي أشرف : الحل غير كامل

[uaemath]

حل اللجنة

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_26760254.jpg