المسابقة الرياضية(1)-السؤال25

[uaemath]

السؤال الـ 25 من لجنة الحكم

افرض ان أ و ب عددين حقيقيين تم اختيارهما عشوائيا من الفترة [ 1 ، 0 ]

أوجد احتمال أن المسافة بين جذري المعادلة :

ع² + أ ع + ب = صفر لا تتجاوز ( أي المسافة ) الـ 1 .

( في المستوى التخيلي/الأعداد التخيلية أو العقدية)

بالتوفيق للجميع

[حسام محمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

البعد بين جذري المعادلة المعطاة له الشكل:
http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_69868164.JPG
حيث y1,y2 هما جذراها

لكن من الفرض نستطيع أن نكتب مايلي:
http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_47749023.JPG
حيث:
p1 احتمال انتماء المميز إلى المجال الموافق في الحالة الأولى
p2 احتمال انتماء أمثال i في المميز إلى المجال الموافق في الحالة الثانية

نعيد كتابة قانون المسافة :
http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_28488769.JPG
حيث:
pً1 احتمال انتماء البعد إلى المجال الموافق في الحالة الأولى
(لاحظ نسبة المجال [1,0] إلى المجال الموافق)
pً2 احتمال انتماء البعد إلى المجال الموافق في الحالة الثانية
(لاحظ نسبة المجال [1,0] إلى المجال الموافق )

وبالتالي نحسب الاحتمال كمايلي:
http://www.mathyards.com/attach/upload/wh_25439453.JPG

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

المعادلة ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حفيفيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة (أ2 – 4 ب)

فى حالة أ2 – 4 ب <= صفر يكون الجذران عددان مركبان مترافقان

وجذرى المعادلة ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

حيث س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 0.5 ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة

القطعة الدائرية التى زاويتها المركزية 120 فوق

والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 0.5 ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 0.5(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

وعلى ذلك فالإحتمال المطلوب

ح = النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة

ح = 1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط

شكرا لكم

[حسام محمد]

حلي السابق خاطئ :d يرجى عدم أخذه بعين الاعتبار

لكنها كانت محاولة مفيدة مع مزيد من التقدير لأستاذ الرياضيات

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

مرحباً بالأخ الكريم حسام محمد

توضيح لفكرة الحل السابق

*****
حيث أنى لم أتطرق لبحث إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة <= 1

فى حالة كون جذرى المعادلة عددان حقيقيان

لكونه حدث مؤكد إحتماله يساوى الواحد الصحيح

لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون مميز المعادلة أ2 - 4 ب >= صفر

وتفسير ذلك كما يلى

حيث أن أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

فإن أ2 - 4 ب <= 1 أيضاً

والبعد بين الجذرين فى هذه الحالة = الجذر التربيعى ( أ2 - 4ب) <= 1

لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون الجذران حقيقيان

====

وهذا تصحيح لبعض الأخطاء المطبعية فى الحل السابق

الذى يبحث إيجاد إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة <= 1

فى حالة كون جذرى المعادلة عددان تخيليان


المعادلة ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة (أ2 – 4 ب)

فى حالة أ2 – 4 ب < صفر يكون الجذران عددان مركبان مترافقان

وبفرض أن جذرى المعادلة ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 0.5 ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة

القطعة الدائرية التى زاويتها المركزية 120 والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 0.5 ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 0.5(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

وعلى ذلك فالإحتمال المطلوب

ح = النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة

ح = 1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط

شكرا لكم

----------------------------------
أما إذا كان المطلوب حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

سواء كان الجذران حقيقيان أو تخيليان

فهذا سؤال جديد تكمن فكرة حله فى المزاوجة

بين فكرة الحل التى أوردها الأستاذ القدير حسام محمد مع فكرة الحل الوارد هنا
-----------------------------------

وفق الله الجميع لما يحبه ويرضاه

[uaemath]

:ty: لكما إخواني

هل بالإمكان مراجعة الحل لأن جوابي مختلفا:ty:

أما إذا كان المطلوب حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

هذا هو المطلوب أخي :

أوجد احتمال أن المسافة بين جذري المعادلة :

ع² + أ ع + ب = صفر لا تتجاوز ( أي المسافة ) الـ 1 .

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

بحث إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة الأتية <= 1

ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة يحقق المتباينة 1 >= أ2 – 4ب >= -4

أى ينتمى للفترة [ -4 , 1 ]

بناءً على ما سبق فإن جذرى المعادلة عددان حقيقيان

بشرط 1>= أ2 – 4 ب >= صفر

ويكون جذرى المعادلة عددان تخليان

بشرط 0 >= أ2 – 4 ب >= - 4

فيكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان

= النسبة بين طولى الفترتين [0,1] : [ -4 , 1 ] = 1\5

و يكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان= 1 - 1\5 = 4\5

والبعد بين الجذرين = الجذر التربيعى ( أ2 - 4ب)

أولاً فى حالة الجذرين حقيقيان

فإن 1 >= أ2 – 4 ب >= 0 لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون الجذران حقيقيان

و إحتمال ذلك يساوى الواحد الصحيح لكونه حدث مؤكد لجمبع قيم أ , ب التى تجعل الجذرين حقيقيين

فيكون ح1 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان والبعد بينهما <= 1 هو

ح1= 1 × 1\5 = 1\5 = 0. 2 نتيجة (1)

ثانياً فى حالة الجذران عددان مركبان مترافقان

وبفرض أن جذرى المعادلة التخيليان هما ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 1 \ 2 × ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة القطعة الدائرية

التى زاويتها المركزية 120 والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 1 \ 2 × ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 1 \ 2 ×(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

فيكون ح2 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان والبعد بينهما <= 1 مساوياً

ح2 = 4\5 × ( النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة )

ح2 = 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط) = 4\5 × 0.6091 =0.48728 تقريباً نتيجة (2)

من(1) & ( 2) يكون حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

سواء كان الجذران حقيقيان أو تخيليان

ح = ح1 + ح2 = 1\5 + 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط)

= 0.2 + 0.48728 = 0.68728

-----------------------------------

وفق الله الجميع لما يحبه ويرضاه

[حسام محمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مشرفنا الكريم uaemath لو سمحتم

أقدم رسماً توضيحياً للحل الأول للأخ الكريم أستاذ الرياضيات

حيث أني أجده مقنعاً حسب السؤال:

( في المستوى التخيلي/الأعداد التخيلية أو العقدية)

وهذا ماجعلني أتراجع عن فكرة المزاوجة كما أفادنا أستاذنا العزيز

الرسم التوضيحي المتعوب عليه :d :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_68491211.JPG

[uaemath]

شكرا أخي حسام على الرسمة الرائعة :clap:

حل اللجنة :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_39423828.jpg