أجمل تمرين في المتتاليات()أوجد مجموعها)

[ZeRO]

السلام عليكم اخواني الكرام

السؤال هو كالتالي


ما تفعل لو طلب منك ان تحسب المجموع التالي


1²+2²+3²+..........+n²


و لكل لمن لم يهتدي الى الحل فليخبرني فقط و سوف اشرح له

[shosho27]

بسم الله الرحمن الرحيم

أخي (زيرو)..............لعلك تملك طريقة حل جديده لهذة المسأله
فيمكنك أن تعرضها.ونحن في إنتظارك.....


وتسلم (مـــــــــــــــا قصرت)

[ميكانيكا]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اول شئ يتبادر الى ذهني هو قانون المجموع الخاص بها.

[سيد كامل]

اخي هناك طريقة شهيرة تسمي (طريقة الفروق) لجمع مثل هذه المتتاليات
وتنص هذه الطريقة علي الاتي
اذا امكن كتابه الحد العام لاي متسلسة علي الشكل
ح ن = د(ر+1) - د(ر) فان المجموع يساوي د(ن+1) -د(1)
وفي هذه المتتالية يمكن اعتبار
ح ن = ر^2
= ر(ر+1) - ر
اذن مجموع المتتالية = مج(ر(ر+1) مج (ر)
المجموع الاول نستخدم فيه طريقة الفروق حيث يكتب علي الصورة
ح ن = د(ر+1) -د(ر) حيث د(ر) 1/3(ر+1)(ر)(ر-1) (يمكنك التاكد )
وهو يساوي =1/3 ن(ن+1)(ن+2)
اما المجموع الثاني فهو متتاليه حسابية مجموعها ن/2(ن+1)
ويكون مجموع المتتاليه = ن/6(ن+1)(2ن+1)
واي استفسار عن طريقة الفروق لجمع المتتاليات تحت امرك

[ZeRO]

شكرا لكم كلكم على المرور

اخواني الكرام الحدل الامتل لهدا التمرين هي كالتالي

ايجاد حدودية

p(x)

حيت

p(x+1) - p(x) = x²

و بعد دلك لايبقة سوى التعويض

وبعد التعويض سوف تشاهدون الجمالية كل الحدود تقريبا سوف تختزل ماعدا اتنين على ما اضن الاول و التاني

وسوف اترككم للبحت عنها و لو ما عرفتو اخواني الكرام اخبرروني فقط

وشكرا

ملاحضة

هده الطريقة تستعمل حتى ولو وضعت متتالية بالدرجة 3

[سيد كامل]

اخي زيرو ما كتبته هو نفسة طريقة الفروق اعلاه اما بخصوص اختزال الحدود فهو اثبات او برهان لطريقة الفروق
راجع المشاركة طريقة رهيبة لجمع المتتاليات

[ZeRO]

تشكر اخي الكريم على المرور
اعتدر لعدم انتباهي
المسكلة هي اني لا افهم جيدا طريقة كتابتكم
انتم بتكتبو د و م و ا وكده
اما نحن بالمغرب

a b c
او

x y
وكده يعني

وشكرا لكم على المشاركة

تحياتي

[ياسين]

مطلوب حدودية من الدرجة 3 تحقق الشروط هي
p(x)=\frac{1 }{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x
و الناتج فعلا هو
1^2+2^2+3^2+....+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
التفاصيل فيما بعد

[ياسين]

لنحدد حدودية من الدرجة 3 . بحيث p(x+1)-p(x) = x^2
لدينا d:P = 3 \Rightarrow p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
p(x+1)-p(x)=x^2 \\\Rightarrow a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d-ax^3-bx^2-cx-d = x^2 \\\Rightarrow 3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c) = x^2
Large (S):\ \left{3a = 1 \\ 3a+2b=0 \\a+b+c=0\right.
Large (S):\ \left{a= \frac{1}{3} \\ b =\frac{-1}{2} \\c=\frac{1}{6}\right.
\Rightarrow p(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x
2- لنحسب المجموع 1^2+2^2+3^2+...+n^2
p(x+1)-p(x)=x^2 \Rightarrow\\p(2)-p(1)=1^2\\p(3)-p(2)=2^2\\.\\.\\p(n+1)-p(n)=n^2
نجمع طرف بطرف
p(n+1)-p(1) = 1^2+2^2+3^3+...+n^2\\\Rightarrow\frac{2n^3+3n^2+n} {6}= 1^2+2^2+..+n^2\\\Rightarrow1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}