مسألة شيبتني في الاستنتاج الرياضي !!

[روح العبير]

هذي مسألة في الاستنتاج الرياضي
شيبتني حاولت فيها مليون الف تسعطعش مرة
ولا قدرت احلها يمكن هي سخيفة بس انا ما ادري وش حلها ؟؟؟:( :( :(
اتمنى انكم تساعدوني في حلها بليييييييييز
وفي اسرع وقت ممكن
وبكون ممنونه وشاكرة :) :)
والمسألة هي :

ن ≥ 2 ن-1

يعني مضروب ( ن ) بس ما عرفت شلون اكتبه أكبر أو يساوي
2 أس ن-1
لاني حسيت الاس مو واضحة
وطبعا ً اكيد تعرفون شلون الخطوات الي نثبت صحة العبارة السابقة عن طريق اثبات صحة ج ( 1 ) ، من ثم ج ( ك )
وأخيرا ج ( ك + 1 )
طبعا ً انا سويت نفس الشي بس ما ادري شلون ما تزبط معي
فأتمنى مساعدتكم بأقرب فرصة
بااااااااي

[uaemath]

حسنا
المطلوب برهان :

ن! >= 2^ن-1

نبدأ بإثباتها صحيحة لـ : ن = 1

ن =1 : 1 ! >= 2^0 ، 1 >= 1 صحيحة

نفرض انها صحيحة لـ : ن = ك ،هذا يعني بأننا نستطيع استخدامها في الخطوة المقبلة .

ن = ك : ك ! >= 2^(ك-1 )

الآن نريد برهانها صحيحة لـ : ن = ك + 1 ، أي برهان :

(ك + 1 )! >= 2^ ك اعتمادا على : ك ! >= 2^(ك-1 )

كما تعلمين : ك! × (ك + 1 ) = (ك +1) !

لدينا : ك ! >= 2^(ك - 1 ) ، نضرب الطرفين بـ : ك + 1

ك! × ( ك + 1 ) >= 2^(ك - 1 ) × (ك + 1 )

( ك + 1 ) ! >= 2^ك × 2^ -1 × ( ك + 1 )
( ك + 1 ) ! >= 2^ك × (ك + 1 ) / 2 >= 2^ك

بما أن ك عدد صحيح موجب : 1 ، 2 ، 3 ، ........
(ك + 1 ) /2 هو عدد حقيقي موجب(> = 1 ) يأخذ القيم :
1 ، 3/2 ، 2 ، 5/2 ،3 ، .....

هذا يعني أن (ك+1)! أكبر أو تساوي 2 ^ ك مضروبة بعدد حقيقي موجب >=1
مما يعني بأنها بالضرورة أكبر من أو تساوي 2^ك
( فكري فيها كما يلي : إذا كانت أكبر من 3(2^ك) فهي أكبر من 2^ك)

و عليه : (ك+1)! >= 2^ك أي أنها صحيحة لـ : ن = ك +1

و هي بالتالي صحيحة لكل : ن عدد طبيعي

تحياتي

[روح العبير]

اهلين uaemath

شكرا ً على ردك ويعطيك الف عافية

بس ممكن لو سمحت تشرح لي بشوي من التفصيل الخطوة الاخيرة
لاني احس اني تهت لم وصلت لها وقريتها مليون مرة وحللتها
وكتبتها بالدفتر بس مدري شلون احس اني ما فهمتها

يعني هذي الخطوة:

( ك + 1 ) ! >= 2^ك × (ك + 1 ) / 2 >= 2^ك

يعني الحين الجملة عبارة عن : مضروب ( ك+1) اكبر او يساوي 2 اس ك × ( ك+1) تقسيم 2 إذا كانت كذا من وين جت الـ 2 أس ك

بما أن ك عدد صحيح موجب : 1 ، 2 ، 3 ، ........
(ك + 1 ) /2 هو عدد حقيقي موجب(> = 1 ) يأخذ القيم :
1 ، 3/2 ، 2 ، 5/2 ،3 ، .....

الحين هذي القيمة من وين جت : (ك+1)/2 ؟؟ ووش ذي القيم :1، 3/2 ... يعني وشو استفيد منهم

هذا يعني أن (ك+1)! أكبر أو تساوي 2 ^ ك مضروبة بعدد حقيقي موجب >=1
مما يعني بأنها بالضرورة أكبر من أو تساوي 2^ك
( فكري فيها كما يلي : إذا كانت أكبر من 3(2^ك) فهي أكبر من 2^ك)

اما هذي الخطوة اللي فوق فأتمنى ان تشرح لي اياها بالتفصيل شوي لأني احس انها مو راضية تدخل عقلي

و عليه : (ك+1)! >= 2^ك أي أنها صحيحة لـ : ن = ك +1
:) :)

وشكرا ً

[uaemath]

ك! × ( ك + 1 ) >= 2^(ك - 1 ) × (ك + 1 )

بما أن : 2^(ك - 1 ) = 2^ك × 2^-1 :

ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك ×2^-1 × (ك + 1 )

الآن : 2^-1 = 1/2


ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك ×1/2 × (ك + 1 )
ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك × (ك +1 )/2

(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2

الآن : (ك +1 ) /2

عندما ك = 1 ، (ك+1)/2 = (1 +1 )/2 = 2/2 = 1
عندما ك = 2 ، (ك+1)/2 = (2 +1 ) /2 = 3/2

الخ ، ................
الحقيقة هذه الخطوة غير ضرورية و إنما هي لتبيان أن (ك + 1 ) /2
هو عدد حقيقي أكبر أو يساوي 1

========================
(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2

الأن : 2^ك ×(ك+1)/2 >= 2 ^ك

و ذلك بديهي لأن 2^ك مضروبة بعدد حقيقي (>= 1) و الذي هو هنا
(ك +1 )/2 حتما ستكون أكبر من نفسها

(ك+1)! أكبر أو تساوي 2^ك ×(ك+1)/2 و هذه أكبر أو تساوي من
2^ك يعني أن :
(ك+1)! أكبر أو تساوي من 2 ^ك

(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2 >= 2^ك

و عليه : (ك+1)! >= 2 ^ ك
و هذا هو المطلوب برهانه بالأساس
----------------------------------------------
الآن نريد برهانها صحيحة لـ : ن = ك + 1 ، أي برهان :

(ك + 1 )! >= 2^ ك
-------------------------------------------------

أرحب بأية استفسارات أخرى

شكرا على سؤالك
تحياتي

[روح العبير]

مشكوووووور ويعطيك الف مليون عافية

واخيرا ً فهمت هالمسألة

ومشكور مرة ثانية :) :)