المسابقة الرياضية (2) - السؤال 3

[uaemath]

السؤال الثالث من الاستاذ محمد علي القاضي:

خزان مياه إسطوانى الشكل ارتفاعة 6 متر ومقطعه العمودى على ارتفاعه على

هيئةالمنحنى ص =جاس ، حيث ط/2 < = س <= 5ط/2

عندما وضع الخزان بحيث يستوعب أكبر كمية من الماء

كان أكبر عمق له 50 سم .

أوجد حجم الماء عندئذ ؟


بالتوفيق للجميع

===================

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706

[yousuf]

هل هذا السؤال يتعلق بالتكامل

[فيصل مريمي]

السلام عليكم
المرجو منك اعادة كتابة المسألة بالحوف اللاتنية
مشكور

[uaemath]

خزان مياه إسطوانى الشكل ارتفاعة 6 متر ومقطعه العمودى على ارتفاعه على

هيئةالمنحنى y = sinx ، http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0059470001171048799.png

عندما وضع الخزان بحيث يستوعب أكبر كمية من الماء

كان أكبر عمق له 50 سم .

أوجد حجم الماء عندئذ ؟



A cylindrical water tank of height 6 meters, its perpendicular cross

section has the shape of y = sinx

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0059470001171048799.png

The tank can take maximum amount of water when it is 50 cm

deep , find the volume of water in this case

[سيد كامل]

السلام عليكم
استفسار هل لو عضو وضع حل وكان به اخطاء يحق له المحاولة وكتابة الحل مرة اخري (لدي حل اشك في صحته)

[uaemath]

أجل ، ما لم يحوي خطأ رياضي صريح كأن يقول س² = -1

تعطي س = -1 ، + 1

أو مشتقة جاس هي ظاس إلى آخره ....................

[سيد كامل]

بعد جهد حاولت ان اتخيل شكل الخزان
حجم الخزان الكلي = مساحة المقطع ضرب الارتفاع
الان المقطع عبارة عن ص = جاس ومساحته تعطي بالتكامل من ط/2 الي 5ط/2 والتي تجزي الي فترات نظرا لوقع فترات منها اسفل محور السينات كالاتي
تكامل جاس من ط/2 الي ط = -جتاس لحدود التكامل والتي تساوي 1 متر^2
تكامل جاس من ط الي 2ط = -جتا س لحدود التكامل = 2 وحدة مربعة
واخيرا تكامل جاس من 2ط ال 5ط/2 = -جتاس لحدود التكامل = وحدة مربعة
المساحة تحت المقطع = 4 وحدات مربعة
حجم الخزان الكلي 4 ضرب 6 = 24 متر ^2
الان بما ان اكبرعمق للماء 50 سم = 1/2 متر وعندها
جاس =1/2 معادلة اسنادها ط/3 ولكن مجال س من ط/2 الي 5ط/2
اكبرعمق للماء يكون عندي النقطتين التي عندهما س = ط/2 + ط/3= 5ط/6
، س = 5ط/2 - ط/3= 13ط/6
الان يمكن حساب حجم الجزء من الخزان الخالي من الماء
= المساحة تحت جاس من 13ط/6 الي 5ط/3 ضرب ارتفاع الخزان
= جذر 3 ضرب 6 = 3و10 متر مربع
فيكون حجم الماء = 24 - 3و10= 6و13 متر مربع
وكنت اتمني ان ارسم لك تخيلي للتمرين
وما كان من توفيق فمن الله وما كان من خطا فمن نفسي

[مستر محمود]

بسم الله الرحمن الرحيم
حل السؤال:
لنتخيل المقطع العمودي (ص=جاس)
بما ان العمق 50سم اي 1/2 متر وهذا الجزء يكون تحت محور السينات لان الشكل عمقه الكلي 2م نصفها تحت محور السينات والنصف الاخر فوق محور السينات
الان نسأل ما الزوايا التي جيبها -1/2
الجواب: 7ط/6 , 11 ط/6
الان : ما تكامل جاس بين القيمتين 7ط/6 و 11 ط/6 . الجواب سهل وهو -جذر 3
اذن المساحة = القيمة المطلقة =جذر 3
نطرح المنطقة الخالية من الماء والتي هي مستطيل فوق هذه المنطقة وتحت محور السينات اي مساحة هذا المستطيل =(11ط/6-7ط/6)*1/2=ط/3
مساحة الماء كما ترى من المقطع =جذر 3-ط/3
حجم الماء =مساحة مقطع الماء × الارتفاع
(جذر3-ط/3)×6=6جذر3-2ط متر مكعب
والله الموفق للصواب
هذا الحل حسب تخيلي للشكل

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يبدو أنه توجد إشكالية فى بعض المفاهيم الواردة بهذا السؤال

مفهوم ( الأسطوانة )

ما هو الشكل الناشئ بتقاطعها مع اىمستوى مائل على محورها؟؟؟

فكيف يكون المقطع منحنى جيب مفتوح !!

2- (عندما وضع الخزان بحيث يستوعب أكبر كمية من الماء )

العبارة السابقة تدل على اننا نتحكم فى طريقة وضع الخزان بحيث يستوعب أكبركمية من الماء

وهذا لا يتأتى إلا بجعل القاعدة أفقية بحيث يملآ الماء الخزان بالكامل .

وفى هذه الحالة يجب أن يتطابق إرتفاع الماء بداخل الخزان مع إرتفاع الخزان

الرجاء التوضيح وإزالة هذا الإلتباس ( وليس عليكم أمر)

أكرمكم الله وسدد خطاكم

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اخوانى الأفاضل / لم نذكر فى السؤال ان الخزان على شكل اسطوانة
دائرية قائمة . وعلى ذلك يمكن أن يأخذ المقطع العمودى على طول
الخزان أى شكل مثلاً : ( نصف دائرة - منحنى دالة تربيعية - 0000 ) حسب شكل الخزان -
وشكرا 0

[laila245]

سلام عليكم
محاولة لحل السؤال حسب فهمي له
الحل بالصورة المرفقة

[uaemath]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3005

[laila245]

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_79357911.jpg

[سيد كامل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ساحاول حل السؤال ولكن اليكم رسم المقطع
http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_85478516.bmp


واليك الحل
الجزء المظلل في الرسم يمثل الماء في الخزان

ارتفاع المياه 50 سم = 1/2 متر
جاس= 1/2 والتي لها زاويه الاسناد ط/3
ولكن مجال س من ط/2 الي 5ط/2
وهذا يعني ان الماء يلامس الخزان عند اقصي ارتفاع عند س= 5ط/6 ومن الجانب الاخر عند س =13ط/6

نحاول حساب مساحة مقطع الماء كالاتي
(تكامل جا س من ط/1 الي 5ط/6 ) + (تكامل جاس من 13ط/6 الي 5ط/2) +(مساحة المستطيل الذي بعداه (13ط/6 - 5ط/6) ،(1/2 )
= 2[-(جتاس) من ط/2 الي 5ط/6] +[ 4/6ط]
= [جذر 3 ] [4/6ط] متر مربع
هذاه مساحة مقطع الماء في الخزان
فيكون حجم الماء= مساحة مقطع المياه ضرب ارتفاع الخزان
= [جذر 3 ] [4/6ط] ضرب 6
= (4جذر 3 ) ط متر مكعب

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأخوة الأفاضل / الأجابات إلى الآن غير سليمة
ولكن اجابة الأستاذ / La 245 تحتاج توضيح أكثر
كيف يكون منحنى الدالة y=sin x فى الفترة المعطاة هو نفس منحنى
الدالة التى ذكرها فى الحل ارجو التوضيح برسم الدالتين
اما المحاولة الأولى للأستاذ / سيد كامل هى محاولة طيبة
" تلميح للحل لجميع الأخوة " ارجو التركيز فى الوحدات المستخدمة وشكراً

[uaemath]

:ty: أخي محمد:ty:


ولكن اجابة الأستاذ / La 245 :

تقصد الأستاذة/ La 245

[سيد كامل]

شكرا علي التوضيح يا استاذ محمد بس تصور انا بحاول في المسائلة من امس علي اساس ان عمق الماء في الخزان 50 سم وعندما اعدت قراءة المسالة وجدت انك تقصد اقصي عمق للخزان هو 50 اليس كذلك ام اختلط علي الامر
وشكرا لك علي هذه المسائلة بس يارب حلها في النهاية ميطلعش فكرته بسيطة

[yousuf]

كان ودي اشارك معكم بس مادرست تكامل:h:
بكرة نبدأ دراسة

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اخى / الأستاذ سيد كامل
اكبر عمق للخزان 50 سم
وشكرا

[laila245]

سلام عليكم
انا حاولت ان ابحث عن دالة لها نفس شكل منحنى دالة الجيب لكن مداها من صفر الى 0.5 (وهو ارتفاع الماء) بدلا من مدى دالة الجيب المعروف وهو من -1 الى 1
وقمت بحل السؤال على أن الخزان ممتلىء بالكامل
وهذا رسم منحنى الدالتين معا
http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_33886719.jpg

[محمد على القاضى]

السلام عليكم
الأستاذة / la 245
ارجو رسم توضيحى للمسألة نفسها حتى تتضح الفكرة التى تريدين
مع استخدام الدالة المعطاة وليس دالة بديلة

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الأخوة الأعزاء

بعد الإطلاع على جميع المشاركات

أتضح بصعوبة بالغة المقصود من السؤال

وفى الحقيقة المسألة ليست صعبة ولكن صياغة المسألة ألبستها كثيراً من الغموض

فالمسألة لا تمت بأى شكل لمفهوم الأسطولتة من قريب أو بعيد

و الصيغة الصحيحة لهذا السؤال يجب أن تكون كالتالى:

خزان ماء على شكل حوض سطحه العلوى عبارة عن مستطيل طوله 6 متر

ومقطع الخزان الرأسى العمودى على الطول عبارة عن جزء من المنحنى ص = جا س

فى الفترة من ط \ 2 إلى 5 ط \ 2 وأقصى عمق للخزان = 50 سم

أوجد حجم الخزان

وكما بدأ الأخ الكريم سيد كامل

بإثبات أن المساحة المحصورة بين منحنى الجيب ومحور السينات
فى من د \2 إلى ط = مربع الوحدة ( جا ط \2 = 1 )
وفى الفترة من ط إلى 2ط = 2 وحدة مربعة
وفى الفترة من 2ط إلى 5ط \2 = وحدة مربعة

فتكون المساحة المحصورة بين المنحنى

ص = جاس والمستقيم ص=1 قى الفترة من د \ 2 إلى 5ط \ 2

مساوية تماما للمساحة المحصورة بين المستقيم ص = 1 ومحور السينات فى نفس الفترة

= 2ط وحدة مربعة

مقطع الخزان يشابه تماما
المساحة المحصورة بين المنحنى ص = جاس والمستقيم ص=1
ونسبة التشابه = 1 \ 4

فتكون مساحة المقطع = 2 ط × ( 1\4)^2 = ط \ 8 متر مربع

حجم الخزان = ط \8 × 6 = 3ط \4 متر مكعب

مرفق رسم توضيحى

[مكارم]

أليس الجواب 2*1/2=1 لأن المساحة 2 والارتفاع 1/2 والأسطوانة تجب أن تكون قاعدةها افقية حتي تستوعب اكثر كمية من الماء

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأخوة الأعزاء صيغة السؤال صحيحة فإن الخزان اسطوانى الشكل ولكن مقطعه العمودى على ارتفاعه على هيئة منحنى ص = جاس
حيث ط/2 < = س < = 5ط/2 ولم أفهم معنى "خزان ماء على شكل حوض " ويمكن ان يذكر آخر " حوض ماء على شكل خزان "
وقد اوضحت فى ردودى على الأخوة الأعضاء ان الخزان ليس على شكل
اسطوانة دائرية قائمة وذكرت ايضا ان المقطع على طول الخزان يمكن ان يأخذ اى شكل مثل نصف دائرة - او منحنى دالة تربيعية -00
وذكرت ايضا فى رد آخر كتلميح للحل ارجو التركيز فى الوحدات
وهذا هو ماعتمد عليه الأستاذ/ استاذ الرياضيات فى حله " الصحيـــــــــــــــــــــــــــــــــــــح " للمسألة
وبهذا يكون هو أول من حل السؤال حلاً صحيحاً كــــــــــــــــــاملاً
وشكرا للأخوة الأعضاء وبالتوفيق للجميع

[laila245]

سلام عليكم
حلي للسؤال كان نفس حل (استاذ الراضيات)لكن باسلوب مختلف
فانا صغرت منحنى دالة الجيب بنسبة الربع واستخدمت دالة جيب التمام لأن معروف المنحنيين لهما نفس الشكل واخذت جزء متناظر حول المحور الصادي لتسهيل ايجاد قيمة التكامل
وانا ارفقت رسم منحنى الدالتين

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
كنت اعتقد انه يجب ان يكون الحل كاملاً ولكن وجدت الآن فقط من ضمن قوانين المسابقة ان الذى يحل المسألة حلاً رياضياً ولكن ناقصاً سيمنح 2 نقطة فعلى ذلك تكون الأستاذة / La 245 هى اول من قدمت حلاً رياضياً ولكن ناقص
واترك الأمر للجنة الحكم لتقرر ماتراه وشكراً

[uaemath]

السلام عليكم ،

شكرا أخي محمد علي القاضي ، فعلا النتيجة حتى الآن :

La 245 : + 2

و نشكر كذلك استاذ الرياضيات على الحل المكتمل :

استاذ الرياضيات : + 1

[uaemath]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

أشكر جميع الإخوة و الأخوات الذين انضموا إلى المسابقة و كذلك الذين لم

ينضموا و لكن يتابعونها، النتيجة حتى الآن :

النتيجة :

محمد علي القاضي : 3


ل أ 245 : 3


استاذ الرياضيات : 3




ميكانيكا : 2


صوفي: 2



يوسف : 2



نيو _أس أم أس : 1



فيصل المريمي: 1



ماثميتكس لو : 1



ميكو 13 : 1



سيد كامل: 1



جميعا 12: 1




منعم مصدق: 1



حسان: 1



محمد الزواوي: 1


:clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

==========================


قوانين المسابقة على الرابط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706


موعد طرح السؤال الرابع مساء اليوم في الخامسة مساء بتوقيت غرينتش ، ما زال بإمكان الأعضاء وضع حلول أخرى لأي سؤال و الحصول على نقاط

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هناك اجابة اخرى للسؤال الثالث هل اذكرها ام ننتظر احد الأعضاء ؟

[uaemath]

بإمكانك وضع الحل أخي بصفتك واضع السؤال ، شكرا

[سيد كامل]

اخي محمد ارجو منك عند كتابة الحل ان يكون مرفوق برسم للتوضيح
ولك جزيل الشكر مقدما

[محمد على القاضى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأخوة الأفاضل هذا هو حل السؤال الثالث من المسابقة ومرفق معه الرسم لأجل عيون استاذى الفاضل / سيد كامل - الذى حقيقة استفدت كثيرا من مشاركاته له منى كل الحب والتقدير
http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_41989746.jpg

[سيد كامل]

اشكرك استاذ محمد علي الاستجابة والحل اتضح جيدا وما اعاقني في حل هذا السؤال كنت اسال نفسي كيف يكون عمق الماء 50 سم ومدي دالة الجيب واحد حقيقة كان صعب تخيل السؤال بهذا الشكل وخاصة موضوع الوحدات
لك الشكر ورجاء لاتحرمنا من مشاركاتك ولا تبخل علينا بعلمك الواسع
وبلا اي مجاملة وجودك يثري المنتدي