uaemath
14-02-2007, 09:33 PM
قاعدة فيتا
لتكن س<sub>1</sub> ، س<sub>2</sub> ، س<sub>3</sub> ، ........ جذورا للمعادلة :
أ<sub>0</sub> + أ<sub>1</sub> س + أ<sub>2</sub> س<sup>2</sup>+........... + أ <sub>ن-1</sub> س <sup>ن -1</sup> + أ <sub>ن</sub> س <sup>ن</sup> = صفر
لتكن ص<sub> ك</sub> جمع ضرب الجذور المختلفة ، على سبيل المثال :
ص<sub>1</sub> = س<sub>1</sub> + س<sub>2</sub> + س<sub>3</sub> + .............
ص<sub>2</sub> = س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> + س<sub>1</sub> ×س<sub>3</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>4</sub> + س<sub>2</sub> × س<sub> 3</sub> + .........
ص<sub>3 </sub>= س<sub>1</sub> ×س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> × س<sub>4</sub> + س<sub>1</sub> ×س<sub>3</sub> ×س<sub>4</sub> + .......
نص قاعدة فيتا :
ص<sub> ك</sub> = (-1 )<sup>ك</sup> × (أ <sub>ن-ك</sub> / أ<sub>ن</sub> )
أمثلة :
أ<sub>0</sub> + أ<sub>1</sub> س + أ<sub>2</sub> س<sup>2</sup> = صفر
و الجذور س<sub>1</sub> ، س<sub>2</sub> :
ص<sub>1</sub> = س<sub>1 </sub>+ س<sub>2</sub> = (-1)<sup>1</sup> ( <sub>أ2-1</sub> /أ<sub>2</sub> ) = - أ<sub>1</sub> / أ<sub>2 </sub>
ص<sub>2</sub> = س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> =
(-1)<sup>2</sup> (أ <sub>2-2</sub> / أ<sub>2</sub> ) = أ<sub>0</sub> /أ<sub>2</sub>
مثال آخر :
س<sup>3</sup> - 13 س<sup>2</sup> + 144 = صفر
س<sub>1</sub> + س<sub>2</sub> + س<sub>3</sub> = 13
س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>3</sub> + س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> = صفر
س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> = - 144
لتكن س<sub>1</sub> ، س<sub>2</sub> ، س<sub>3</sub> ، ........ جذورا للمعادلة :
أ<sub>0</sub> + أ<sub>1</sub> س + أ<sub>2</sub> س<sup>2</sup>+........... + أ <sub>ن-1</sub> س <sup>ن -1</sup> + أ <sub>ن</sub> س <sup>ن</sup> = صفر
لتكن ص<sub> ك</sub> جمع ضرب الجذور المختلفة ، على سبيل المثال :
ص<sub>1</sub> = س<sub>1</sub> + س<sub>2</sub> + س<sub>3</sub> + .............
ص<sub>2</sub> = س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> + س<sub>1</sub> ×س<sub>3</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>4</sub> + س<sub>2</sub> × س<sub> 3</sub> + .........
ص<sub>3 </sub>= س<sub>1</sub> ×س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> × س<sub>4</sub> + س<sub>1</sub> ×س<sub>3</sub> ×س<sub>4</sub> + .......
نص قاعدة فيتا :
ص<sub> ك</sub> = (-1 )<sup>ك</sup> × (أ <sub>ن-ك</sub> / أ<sub>ن</sub> )
أمثلة :
أ<sub>0</sub> + أ<sub>1</sub> س + أ<sub>2</sub> س<sup>2</sup> = صفر
و الجذور س<sub>1</sub> ، س<sub>2</sub> :
ص<sub>1</sub> = س<sub>1 </sub>+ س<sub>2</sub> = (-1)<sup>1</sup> ( <sub>أ2-1</sub> /أ<sub>2</sub> ) = - أ<sub>1</sub> / أ<sub>2 </sub>
ص<sub>2</sub> = س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> =
(-1)<sup>2</sup> (أ <sub>2-2</sub> / أ<sub>2</sub> ) = أ<sub>0</sub> /أ<sub>2</sub>
مثال آخر :
س<sup>3</sup> - 13 س<sup>2</sup> + 144 = صفر
س<sub>1</sub> + س<sub>2</sub> + س<sub>3</sub> = 13
س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> + س<sub>1</sub> × س<sub>3</sub> + س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> = صفر
س<sub>1</sub> × س<sub>2</sub> × س<sub>3</sub> = - 144