واحد في مضروب واحد

[اشرف محمد]

اثبت
ان
1(!1)+2(!2)+3(!3)+ + + + 1000(!1000)=(!1001) - 1

[حسام محمد]

سؤال جميل أخي أشرف

الحالة العامة:
ن!
=ن(ن-1)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-1)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-1)(ن-2)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-2)!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-2)(ن-3)!
.
.
.
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+3!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+3(2!)
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+2!
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+2(1!)
=(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)+1

ومنه:
(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)+1=ن!
أو:
(ن-1)(ن-1)!+(ن-2)(ن-2)!+(ن-3)(ن-3)!+.....+2(2!)+1(1!)=ن!-1

:ty:

[امام مسلم]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته أخى أشرف
محاوله أتمنى أن تعجبك


( 2-1 ) ×1! + ( 3 - 1 ) ×2! + ( 4 - 1 ) × 3! + 00000 + ( 1001 -1000 ) × 1000!
= 2×1! - 1! + 3 ×2! - 2! + 4 × 3! - 3! + 000 + 1001 × 1000! - 1000!
= 2! - 1! + 3! - 2! +4! -3! + 0000 + 1001! - 1000!
= -1! + 1001! = 1001! -1

[اشرف محمد]

تعميم جميل جدا اخى العزيز حسام

العزيز امام انت تعجب الباشا ياباشا

شكرا لكما مشرفايا العزيزان

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل آخر رائع كإضافة لهذه الحلول الرائعة ... بفكر الأستاذ الفاضل / سامح الدهشان :

فكره أخري للحل :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 1 = 3 !
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! + 1 = 4 !
وهكذا نصل الي الإثبات
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ن × ن ! + 1 = ( ن + 1 ) !

لإثبات هذه القاعدة :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ن × ن ! = ( ن + 1 ) ! - 1
لجميع قيم ن الصحيحة الموجبة ...

العلاقه صحيحه عند ن = 1
بفرض صحة العلاقة عن ن = ك
أي أن 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! = ( ك+ 1 ) ! - 1

نحاول إثبات صحة العلاقه عند ن = ك + 1
أي إثبات أن :
1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) ! = ( ك+ 2) ! - 1

الطرف الأيمن :

1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + 3 × 3 ! +.............. + ك × ك! + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= ( ك + 1 ) ! - 1 + ( ك + 1 ) × ( ك + 1 ) !
= ( ك + 2 ) × ( ك + 1 ) ! - 1
= ( ك + 2 ) ! - 1

اذن العلاقه صحيحه لكل ن = ك + 1
وبالتالي صحيحه لجميع قيم ن
بوضع ن = 1000 نحصل علي الإثبات المطلوب

وفق الله الجميع ... ،