نظرية الأعداد - الدرس الإسبوعي (1)

[uaemath]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

طلب إلينا بعض الإخوة و الاخوات وضع دروس في نظرية الأعداد (Number Theory ) و ذلك لقلة الاهتمام بهذا الفرع من الرياضيات بالرغم من أهميته.

و قد أبدى البعض رغبته في أن نلقي الضوء على مفهوم القياس ( mod) و التوسع في شرح خصائصه و العمليات المصاحبة له.

سنقوم بعد التوكل على الله بوضع سلسلة دروس تتناول هذا الموضوع كاملا و وضع بعض التمارين عقب كل درس ليتم حلها بالتعاون مع الأعضاء الكرام.

مـقـدمـــــــــــــــــــ ــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers )

و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال :

المعادلة : س ² + ص ² = ع ² ( x² + y² = z² )

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات :

س ³ + ص ³ = ع ³ ( x³ + y³ = z³ )

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴ ( x⁴ + y⁴ = z⁴ )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس
33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية ( Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي

350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، و هي التي استعصت على البرهان حتى عام 1994 .

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه

للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

xⁿ+ yⁿ = zⁿ

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers )

لكل ن > 2 ( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه.

هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري

أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على

التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

1000 ² = 30 ²+ 10 ² + 0 ² + 0 ²

999 ² = 30 ²+ 9 ² + 3 ² + 3 ²

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture ) أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية ( Sum of Four squares )
و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example ) واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن
كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال :

مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية
أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه

في عام 1968 :

144 ⁵ = 27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في

إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة

أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما

تكون النظرية غير مفهومة تماما.

إلى الدرس الأول : قابلية القسمة

[uaemath]

الدرس الأول : قابلية القسمة ( Divisibility )

تعريف 1.1 يكون العدد الصحيح ب قابلا للقسمة(Divisible) على العدد الصحيح أ (أ لا يساوي الصفر) ، إذا وجد عددا صحيحا ك بحيث:

ب = أ × ك و نكتبها ب | أ ( a | b )

a | b : b = ax for some x , a , b and x are integers and a is not zero

ملحوظة : عندما نستخدم أحد التعبيرين : " قابل للقسمة" أو " يقسم على"

نعني أنه يقسم عليه بدون باقي.

أمثلة : 10 | 2 لأن 10 = 2 × 5

0 | 20 لأن 0 = 0 2× 0

من الواضح أننا لا نستطيع وضع الصفر على الجهة اليسار

يمكننا التعبير عن قابلية القسمة ( Divisibility ) بلغة أخرى :

ب| أ : أ هو قاسم ( Divides) للعدد ب و أ هي عامل ( Divisor ) من عوامل ب

و ب هي مضاعف ( Multiple ) للعدد أ

مثال : 20| 5 :

20 تقسم ( Divisible) على 5
5 قاسم ( Divides ) للعدد 20
5 عاملا (Divisor ) للعدد 20
20 مضاعف (Multiple ) للعدد 5

نظرية 1.1

(1) ب | أ تعطي ب جـ | أ لأي جـ عدد صحيح

for any integer c \Large a\mid b \Rightarrow a\mid bc

(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ

\Large a\mid b & b\mid c \Rightarrow a\mid c

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب س + جـ ص | أ لأي س و ص أعداد صحيحة

(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب

(5) إذا كان العددين أ و ب صحيحين موجبين و كان ب | أ يكون أ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0926596001172257219.png ب

(بمعنى آخر ب هو الأكبر بين قواسمه )

البرهان :

(1) ب | أ ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط ب = أ × ك

بضرب الطرفين بـ جـ : ب جـ = أ × (ك جـ) ، ك جـ عدد صحيح لتكن كَ = ك جـ

إذا ب جـ = أ × كَ و منها ب جـ | أ

(2) متروكة للقارىء

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب = أ × ك و جـ = أ × كَ

إذا

ب س + جـ ص = ( أك )س + ( أكَ ) ص = أ( ك س ) + أ ( كَ ص )

ب س + جـ ص = أ ( ك س + كَ ص ) و منها ب س + جـ ص | أ

لأنها تساوي أ مضروبة بالعدد الصحيح ( ك س + كَ ص )

(4) متروكة للقارىء

( 5 ) ب | أ تعني ب = أ × ك http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0629718001172257269.png أ

حقائق :

(1) العدد الصحيح الزوجي نعبّر عنه بالشكل 2 ك

و العدد الصحيح الفردي نعبّر عنه بالشكل 2 ك + 1 ، حيث ك عدد صحيح

(2) عندما نقسم عددا صحيحا على 3 يكون باقي القسمة أحد الأعداد

0 ، 1 ، 2 . ينتج عن ذلك أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل(ك عدد صحيح) :

3 ك ، 12 = 3 × 4
3ك + 1 ، 22 = 3 × 7 + 1
3ك + 2 ، 32 = 3 × 10 + 2
و أكثر من ذلك ، خذ أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، أحدهم يجب أن يقسم على 3 .

السبب : أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل :
3ك أو 3ك + 1 أو 3ك + 2 و كما ترى هي متتالية و أحدها 3ك يقسم على 3

[uaemath]

(1) إذا كان أ | س و ب | س أثبت أن :

أ + ب | س و أ - ب | س

(2) كم عدد صحيح بين الـ 100 و الـ 1000 يقسم على 7 ؟

(3) أثبت البندين الثاني و الرابع من النظرية 1.2

(4) أثبت أن ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يقسم على 6

(5) إذا كان ب | أ و د | جـ أثبت أن ب د | أ جـ

(6) أثبت أن ن² + 2 لا تقسم على 4 لكل عدد صحيح ن

(7) إذا كان ب جـ | أ جـ أثبت أن ب | أ

(8) إذا كان س و ص صحيحين فرديين أثبت أن س² + ص² زوجي و لكن لا يقسم على 4

(9) أثبت أن مربّع أي عدد صحيح يأخذ الشكل 3ك أو 3ك + 1 و ليس

3ك + 2

(10) إذا كانت ن أكبر أو تساوي 2 و ك عدد صحيح موجب ، أثبت أن :

ن ^ك - 1 | ن - 1

أتطلع لرؤية حلول الإخوة و الأخوات :clap: :clap: :clap:

[سيد كامل]

السلام عليكم استاذي الفاضل
اسمح لي ان ابدا بالمشاركة من النهاية اي حل رقم عشرة
ن^ك -1 باضافة وطرح الحدود
( ن^ك-1 +ن^ك-2 + 000+ن) يصبح المقدار مساويا
ن^ك -1 =ن^ك+( ن^ن-1 +ن^ك-2 + 000+ن ) -ن^ن-1 -ن^ك-2 - 000- -ن-1
ن^ك-1 = الان ساخذ كل حد موجب مع حد سالب
= (ن^ك - ن^ن-1) +(ن^ك-1 - ن^ن-2)+(ن^ك-2 - ن^ك-3)+000 +(ن -1)
الان ناخذ عامل مشترك من كل حدين
ن^ك-1= ن^ك-1(ن-1) +ن^ك-2(ن-1) +0000+(ن-1)
= (ن-1) [ ن^ك-1 +ن^ك-2 +ن^ك-3 +000+1]
وهو المطلوب
وساقوم بارفاق صورة للحل لسهولة قراءته ولكن بعد تلقي ردكم علي الحل من حيث الصحة او الخطا

[سيد كامل]

واليك لرقم 8
نفرض س = 2ك +1 حيث ك زوجي ، ص = 2م +1 حيث م زوجي
س^2 +ص^2 = (2ك +1)^2+(2م +1)^2
= 4ك^2 +4ك + 1 + 4م^2 +4م +1
= 4(ك^2 + ك + م^2 + م ) +2
= 2 [ 2((ك^2 + ك + م^2 + م ) +1] وهو زوجي
(س^2 +ص^2) /4 = (ك^2 +ك +م^2 +م ) + (1/2)
المقدار داخل القوس بعد علامة = عدد صحيح زوجي حيث انه مجموع الحدين
(ك^2 + م^2 ) + ( ك + م) وكلاهما زوجي
اذن س^2 + ص^2 لاتقبل القسمة علي العدد 4

[uaemath]

أحسنت أخي سيد كامل:clap: :clap: :clap:

[أمين]

السلام عليكم
بارك الله فيكم على هذا الشرح الميسر
بالنسبة للسؤال (1) :
أ|س يكافئ يوجد ك / أ= ك*س
ب|س يكافئ يوجد ص / ب=ص*س حيث ك ، ص عددان صحيحان
أ+ب = ك*س + ص*س = س ( ك+ص) أي أ+ب|س
أ-ب = ك *س – ص *س = س( ك –ص) أي أ –ب|س

السؤال(6) : هذه محاولتي فيه

ن²+2 لا يقبل القسمة على 4
نفرض أن ن²+2 يقبل القسمة على 4 ( برهان بالخلف)
ينتج :ن ²+2= 4ك ك عدد صحيح
ن ²+2ن+1= 4ك +2ن-1
(ن+1)² = 2(2ك+ن) -1

في الطرف الثاني : عدد فردي مهما تكن قيمتي ن ،ك
في الطرف الأول : العدد زوجي من أجل ن فردي
نحصل على:
من أجل ن فردي عدد زوجي=عدد فردي وهذا تنـــــاقض
إذا الفرضية غير صحيحة

[casanova-rajawi]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال 4
لدينا 2 اولي مع 3
ونعلم ان ضرب عددين متتابعين قابل للقسمة على 2 وايضاضرب ثلاثة أعداد قابل للقسمة على 3
ادن ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يقسم على 6

[casanova-rajawi]

(5) إذا كان ب | أ و د | جـ أثبت أن ب د | أ جـ

لدينا
y|X ادن يوجدp بحيث x=py
و
a|b ادن يوجدd بحيث b=da
ادن
xb=dp*ay
ادن xb|ay العكس ههه

[casanova-rajawi]

(9) أثبت أن مربّع أي عدد صحيح يأخذ الشكل 3ك أو 3ك + 1 و ليس

3ك + 2
مربّع أي عدد صحيح يخالف 3 يساوي 1 بترديد 3 حسب مبرهنة فيرما N²=1 [3]
لان 3 اولي
او يساوي 0 بترديد 3 ادا كان العدد من مضاعفات 3
ادن يكتب اما على شكل 3k+1 او 3k

[مستر محمود]

السلام عليكم ايها الاساتذة الكرام اشكركم جميعا
احببت ان اجيب عن السؤال الثاني في التمارين وهو عدد الاعداد التي تقسم على 7 بدون باقي وتقع بين العددين 100 و 1000
الجواب:
العدد الاول هو ليكن أ=105 والعدد الاخير ليكن ب=994
وبكتابة الاعداد على شكل متتالية كما يلي:
105، 112، 119، ...، 994
المتتالية حسابية لان الفرق بين كل حدين د=7
اذن
ب=أ+د(ن-1)
994=105+7(ن-1) ومنها ن=(994-105)/7 +1=127+1=128

[حسان]

أرجم منكم الإجابة على هذا السؤال
أوجد قيم العدد الصحيح س حيث العدد 2س مكعب - س مربع + 2 يقبل القسمة على الدد 7

[uaemath]

أشكر جميع الإخوة الذين شاركوا في الإجابات :

أمين :clap: :clap: :clap:

casanova-rajawi :clap: :clap: :clap:

مستر محمود :clap: :clap: :clap:

أخي حسان :

أرجم منكم الإجابة على هذا السؤال
أوجد قيم العدد الصحيح س حيث العدد 2س مكعب - س مربع + 2 يقبل القسمة على الدد 7

شكرا على السؤال ، هذا السؤال موجود في المشاركة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?p=24596#post24596

و سنجيب عليه هناك لأننا في هذا الموضوع ماشيين بالتسلسل

أهلا بك :ty:

بقي السؤالين 3 و 7 و طريقة تتماشى مع الدرس للسؤال 9
:clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

[عبد البديع]

بسم الله الحمن الرحيم
اشكركم على هذه المواضيع القيمه

[uaemath]

شكرا أخي عبد البديع على المجاملة اللطيفة

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

خالص الشكر والتقدير لهذا الشرح الرائع ... وليس بمستغرب أن يكون كذلك.

سأكتب محاولاتى وأتمنى صحة حلى :

(3) أثبت البندين الثاني و الرابع من النظرية 1.2

البند الثانى وهو :

(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ

البرهان :

(2) ب | أ ، إذا يوجد ل عدد صحيح بشرط ب = أ × ل

جـ| ب ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط جـ = ب× ك

وبالتعويض عن قيمة ب من المعادلة الأولى فى المعادلة الثانية ينتج أن :
جـ = أ × ل × ك
إذن جـ = أ × م حيث م عدد صحيح ناتج من حاصل ضرب ل × ك

ومنها جـ | أ

[Amel2005]

البند الرابع وهو :

(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب

البرهان :

(4)
ب | أ ، إذا يوجد ل عدد صحيح بشرط ب = أ × ل

أ | ب ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط أ = ب× ك

بالتعويض :

أ = ( أ × ل ) × ك = أ × (ل × ك )

وحيث أن ل ، ك أعداد صحيحة ، وحاصل ضربهما لابد أن يساوي المحايد الضربي (1)

إذن إما كلاهما سالب واحد أو كلاهما موجب واحد

إذا كان كلاهما سالب واحد فبالتعويض
ب = أ × ل ومنها ب = - أ

إذا كان كلاهما موجب واحد ينتج أن
ب = أ × ل ومنها ب = أ

إذن ب = + - أ

والله أعلم

[Amel2005]

المسألة رقم (7)

(7) إذا كان ب جـ | أ جـ أثبت أن ب | أ

البرهان :

ب جـ | أ جـ ، إذا يوجد ل عدد صحيح بشرط ب جـ = ل × أ جـ

بالاختصار المباشر ينتج أن :

ب = أ × ل

ومنها ب | أ

أتمنى أن أكون تلميذة نجيبة
خالص الشكر والتقدير لك أستاذنا الكريم

[uaemath]

Amel2005 :clap: :clap: :clap:

[عسل مصفى]

سلام عليكم ورحمة الله وبركاته


يعطيك العافية اخي على موضوعك القيم

انا حاليا ادرس مقرر نظرية الاعداد وكلي شوق لتكملتك للموضوع ولكن ما اخشاه اني لن استطيع ان ارى درسك كاملا الا والمقرر قد انتهيت من دراسته
لذلك هل لي بان احصل على مرجعك من كتابتك للمقرر؟

حاولت الارسال لك لكن لم استطيع هل هنالك طريقه للتواصل معك؟

[uaemath]

سلام عليكم ورحمة الله وبركاته


يعطيك العافية اخي على موضوعك القيم

انا حاليا ادرس مقرر نظرية الاعداد وكلي شوق لتكملتك للموضوع ولكن ما اخشاه اني لن استطيع ان ارى درسك كاملا الا والمقرر قد انتهيت من دراسته
لذلك هل لي بان احصل على مرجعك من كتابتك للمقرر؟

حاولت الارسال لك لكن لم استطيع هل هنالك طريقه للتواصل معك؟

:wave: عسل مصفى

:w: في منتديات الرياضيات العربية :w:

الحقيقة أنني لم أكتب الموضوع كاملا و لكنني سأضع لك درسين يوم الجمعة

القادم الأعداد الأولية و تكملة الدرس الأول - خوارزمية القسمة

و من ثم سأقوم بجعل الموضوع نصف إسبوعي لتسريع العملية

و على كل يمكنك وضع أسئلتك في ساحة التعليم العالي

و للتواصل أرجو مراسلتي على العنوان :

uaemath@gmail.com

أهلا بك مرة أخرى

[عسل مصفى]

سلام عليكم ورحمة الله وبركاته


شاكر لك اخوي وبانتظار مزيدك

وتم ارسال رسالة لبريدك

[عسل مصفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

[عسل مصفى]

سلام عليكم ورحمة الله وبركاته


حبيت انوه على السؤال السادس حيث اجابة اخي امين للاسف خاطئة
قمت بسؤال الدكتور عن الاجابة وعرضت عليه الاجابة هذهِ وقال المفترض ان يتحقق المطلوب لكل n عدد صحيح وليس فقط تناقض في حالة كون n فردية في الطرف الاول

والاجابة

في زد اربعه(Z4)
n=0
1
2
3

n^2=0
1

اذاً
n^2+2=2
3

وهي لاتقبل القسمة على 4


شاكر لكم

[بسمة الدنيا]

السلام عليكم

الف شكر الاستاذ الفاضل على الدرس القيم
عندي ملاحظة
ذكرت ان


التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

1000 ² = 30 ²+ 10 ² + 0 ² + 0 ²

999 ² = 30 ²+ 9 ² + 3 ² + 3 ²



المفترض العدد 1000 نفسه يكتب كحاصل جمع اربع مربعات لا العدد 1000 <sup>2
وكذلك الحال للعدد 999

ولك جزيل الشكر

معك حق الجوابين هما 1000 و 999 - شكرا

[زاحف الليل]

جزا كم الله خير

[امل 87]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة
اولا انا سعيدة جدا للاشتراك في هذا المنتدى المفيد والرائع
ثانيا احب ان اعرف نفسي انا طابة في الجامعه قسم الرياضيات:)
فينكم من زمان:mad: ولا فيني انا عنكم
من ضمن المواد اللي ادرسها نظرية الاعداد لكن للاسف ماأفهم فيها شي:unknown:
لدرجة الشعور بالملل وبدأت بالتغيب عن حضور المحاضرة واتمنى ان اتعلم شيئاً لو القليل من هذه المادة لان الامتحان بعد اسبوعين وانا متاكدة بان الاعضاء والموجودين سيكونون خير مساعد لي في فهم المادة (بطفشكم بالاسئلة ويمكن مااكمل اسبوع الا بتطردوني:h: او تكسروني)

[سيد الرياضيات]

السلام عليكم الاستاذ الفاضل مدير المنتدى
س 3 + ص 3 = ع 3 ( x3 + y3 = z3 )

س 4 + ص 4 = ع 4 ( x4 + y4 = z4 )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

قد سمعت ان من نظريات عمر الخيام ( رحمه الله )


أن مجموع مكعبين لابد أن يساوى مكعب ........ على أى أعداد


بخصوص

[mathson]

السلام عليكم الاستاذ الفاضل مدير المنتدى
س 3 + ص 3 = ع 3 ( x3 + y3 = z3 )

س 4 + ص 4 = ع 4 ( x4 + y4 = z4 )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( positive integers ).

قد سمعت ان من نظريات عمر الخيام ( رحمه الله )


أن مجموع مكعبين لابد أن يساوى مكعب ........ على أى أعداد


بخصوص

الأولى صحيحة لأنها نظرية فيرما الكبرى

وقد تمت برهنتها مؤخرا.

أما الثانية فليست صحيحة.

جرب 64 ، 8

[Aty wafa]

السلام عليكم
يسعدني أن أشترك في هذا الموضوع
ويسعدني كذلك أن أستفيد من مشاركات الأخوة الكرام وإن كنت أعدت كتابة بعضها طلباً لفائدة الجميع والله الموفق
وجزاكم الله خيراً



http://www.arabruss.com/uploaded/38374/1.jpg

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/2.jpg

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/3.jpg

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/4.jpg

[Aty wafa]

السلام عليكم
كتبت حلاً آخر لرقم 10 عن طريق الاستنتاج الرياضي
اعذروني لم أكن قد رأيت المشاركات التي في صفحة 2 ، صفحة 3

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/n.pdf

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أخي عبد العاطي وفا :clap::clap::clap::clap::clap::clap::clap::clap:

[mathson]

جميلة هذه المبادرة أستاذ uaemath.

ولدي إضافات بسيطة.

1- في المسألة 2 في مرفق الأستاذ aty wafa :

يمكن أن نستخدم النظرية:

ليكن m,n أعداد صحيحة موجبة. عدد مضاعفات m المحصورة بين 1 و n تعطى بالعلاقة : \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor.

وفي مسألتنا:

\left \lfloor \frac{100}{7} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1000}{7} \right \rfloor = 128

2- في المسألة 8 يمكن أن نستخدم النظرية: باقي قسمة مربع أي عدد فردي على 4 هو 3.

بالتالي:

x^2 + y^2 \equiv 3 + 3 \equiv 2 \quad \pmod 4

بالتالي فهو يقبل القسمة على 2 و لا يقبل القسمة على 4.

[uaemath]

أحسنت أخي mathson كالعادة :clap::clap:


السلام عليكم الاستاذ الفاضل مدير المنتدى
س 3 + ص 3 = ع 3 ( x3 + y3 = z3 )

س 4 + ص 4 = ع 4 ( x4 + y4 = z4 )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( positive integers ).

قد سمعت ان من نظريات عمر الخيام ( رحمه الله )


أن مجموع مكعبين لابد أن يساوى مكعب ........ على أى أعداد


بخصوص


الأولى صحيحة لأنها نظرية فيرما الكبرى

وقد تمت برهنتها مؤخرا.

أما الثانية فليست صحيحة.

جرب 64 ، 8

أرجو التوضيح ، بصراحة لم أفهم ما تقصدان

[Aty wafa]

السلام عليكم
بعد مراجعتي للمرفقات وجدت صفحة مكررة وأخرى مفقودة فيها حل رقم 4 لذلك أعدت رفعها
وشكراً

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/2.jpg

[mathson]

[size="5"]أرجو التوضيح ، بصراحة لم أفهم ما تقصدان



لقد كتب:


قد سمعت ان من نظريات عمر الخيام ( رحمه الله )


أن مجموع مكعبين لابد أن يساوى مكعب ........ على أى أعداد


لقد علقت على هذه النظرية ... حيث أنها غير صحيحة:

والدليل 4^3 + 2^3 = 72 وحيث أن 72 ليس مكعب.
والمكعب هو الذي جذره التكعيبي الحقيقي عدد صحيح.

والله أعلم

[Aty wafa]

السلام عليكم

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/22.jpg

[Aty wafa]

جميلة هذه المبادرة أستاذ uaemath.

ولدي إضافات بسيطة.

1- في المسألة 2 في مرفق الأستاذ aty wafa :

يمكن أن نستخدم النظرية:

ليكن m,n أعداد صحيحة موجبة. عدد مضاعفات m المحصورة بين 1 و n تعطى بالعلاقة : \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor.

وفي مسألتنا:

\left \lfloor \frac{100}{7} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1000}{7} \right \rfloor = 128

2- في المسألة 8 يمكن أن نستخدم النظرية: باقي قسمة مربع أي عدد فردي على 4 هو 3.

بالتالي:

x^2 + y^2 \equiv 3 + 3 \equiv 2 \quad \pmod 4

بالتالي فهو يقبل القسمة على 2 و لا يقبل القسمة على 4.

السلام عليكم
باقي قسمة مربع أي عدد فردي على 4 هو 1
ومن ثم يكون الحل أيضاً سهلاً
وجزاكم الله خيراً

[mathson]

السلام عليكم
باقي قسمة مربع أي عدد فردي على 4 هو 1
ومن ثم يكون الحل أيضاً سهلاً
وجزاكم الله خيراً

بالفعل... يبدو أني وضعتها سهوا.

شكرا على التنبيه الذكي.

[مجدى الصفتى]

حل السؤال العاشر
[CENTER]http://www.arabruss.com/uploaded/4323/1233964589.jpg

[abo_soliman]

بصراحة شرح رائع وردود متميزة

[wassimoss]

شكرا لك .

[aniso-pro]

merçi