المسابقة الرياضية (2 ) - السؤال 5

[uaemath]

السؤال الخامس من الاستاذ محمد علي القاضي:

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_62858887.GIF


Solve the equation

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0270334001172250574.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0926580001172250739.png


بالتوفيق للجميع

رجاء من الإخوة و الأخوات قراءة جميع الحلول حتى لا يكرروا الحل - الحلول المكررة سيتم حذفها

===================

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706

[laila245]

سلام عليكم
http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_73774414.JPG

[happy1967]

حل جميل ولكن :

هل شرط جمع المتتابعه الهندسيه الى مالانهايه متحقق ؟

هل مقياس الاساس اقل من ال 1

مجرد توضيح فقط ويجب اثباته ::::::::::

[سيد كامل]

اعجبتني طريقة الحل ولكن( ينقصه شئ صغير نوهت عنه في نهاية الحل ) اسال متي ينزل السؤال بالضبط فانا اجري في الطريق كي الحق بالسؤال ودخلت قبل السادسة بتوقيت جرينتش فوجدت السؤال موجودا

د(س) = مجموع متتالية هندسية لانهائية حدها الاول ظاس اساسها = -طا^3/ظاس= -ظا^2س
ولكي تكون قابلة للجمع لابد ان تكون مقياس - (ظا^2س) اقل من الواحد الصحيح
المجموع = أ / 1-ر = طاس/1+ظا^2س
= ظاس/ قا^2س
= جاس جتاس
المعادلة جاس جتاس = جذر 3 /4
حا2س = جذر 3 /2
الجيب موجب في الربع الاول او الثاني
قياس زاوية الاسناد = 60 = ط/3
0<س<360
دورة الدالة جا2س = ط
ومنها الحل الخاص هو
في الربع الاول 2س = ط /3 ومنها س = ط/6 =30
في الربع الثاني 2س= 2ط/3 ومنها س = ط/3 =60
ولكن س = ط/3 مرفوضة لانها سوف يستحيل معها جمع المتتالية الي مالانهاية
الحل العام للمعادلة هو
2س = ط/6 + ن ط
2س= ط/3 + ن ط
حيث ن عدد صحيح
ومنها سوف نجد ان س = ط/3 ، ط/6 ، 7ط/6 ،
ولكن في النهاية سوف نختار الزوايا التي تجعل المتتالية قابلة للجمع الي مالانهاية وهي ط/6 ، والزوايا الاخري مرفوضة
لاحظ ان -ظا^2(ط/3) = - 3 ولذلك س = ط/3 لاتصلح

[laila245]

سلام عليكم
كذلك الزاويتان 210 ،240 تحققان الحل لأن:
س بين صفر و360
لذلك 2س بين صفر و 270
لذلك 2س = 360 + 60= 420 ومنها س = 210
او 2س = 360 + 120 = 480 ومنها س = 240
لذلك مجموعة الحل = { 30 ، 60 ، 210 ، 240 }

[سيد كامل]

توصلت الي ان الحل الخاص هو
س= ط/3 ، س = ط/6
الحل العام خلال مجال س
س=ط/3 + ن ط حيث ن =0 ، 1 ومنها س= 60 ، 240
س = ط/6 + ن ط حيث ن =0 ، 1 ومنها س = 30 ، 210
ومجموعة الحلول هذة سوف نستبعد منها 240 ، 60 لانها لايمكن جمع المتتالية عندها الي مالانهاية
مجموعة الحل فقط = { 30 ، 210}
والسبب ان -ظا^2 (60) = - ظا^(240) = -3
وشرط جمع متتالية هندسية الي مالانهاية ان يكون مقياس الاساس اقل من الواحد

[laila245]

سلام عليكم
الأستاذ السيد كامل :السؤال يوضع اسبوعيا يوم الجمعة في الساعة الخامسة بتوقيت جرينتش
وفعلا الزاويتين 60 و 240 تستبعد لأن مقياس أساس المتتابعة يصبح أكبر من الواحد

[saed]

استاذى /سيد كامل حل جميل وملاحظطه رائعه (ط/3) تجعل المتتابعه غيرنهائيه
سبقتنا للحل فأنت دائماً سباق ذادكم الله علماً
أخيك سعيد الصباغ

[محمدالزواوى]

اخوانى الاعزاء شكرا لكم جميعا على المعلومات الشيقه النى نتلقاها من المسابقه وحلولها: اليكم فكره حل بطريقه اخرى ولكن تعتمد ايضا على فكره المتتابعه .
ظاس -ظا^3س+ظا^5س-ظا^7س+ظا^9س00000000000
= ظاس[1-ظا^2س] +ظا^5س[ 1-ظا^2س] +ظا^9س[1-ظا^2س]+00000
=[1-ظا^2س] [ ظاس+ظا^5س+ظا^9س+00000000]
= [1-ظا^2س] × مجموع متتابعه هندسيه الى مالانهايه اساسها ظا^4س بشرط مقياس الاساس < 1
= [1-ظا^2س] ×[ ظاس/ (1-ظا^4س)] =
[1-ظا^2س] × [ظاس /(1-ظا^2س)(1+ظا^2س)] =ظاس / قا^2س
= (جاس/جتاس)× جتا^2س = جاس جتاس
اذا جاس جتاس= ج3/4 ومنها 2جاس جتاس = ج3/2 اى جا2س = ج3/2
اذا: اما 2س تنتمى للربع الاول ومنها 2س= 60 اى س= 30 وهى تحقق شرط الجمع الى مالا نهايه للمتتابعه
او : 2س تنتمى للربع الثانى ومنها 2س=120 اى س=60 وهى لا تحقق شرط الجمع الى مالانهايه للمتتابعه(لان ظا 60=ج3 > 1)
ومنها مجموعه الحل هى 30 ، 30+1× 180 = 210
(حيث الزاويه 2س دورتها 360 ومنها الدوره الخاصه بالزاويه س= 180)

[ghmath]

أخواني..
أعتقد أن مجموعة الحل = {30ْْْْْ ْ ،150 ْ ،210 ،330ْ ْ}
ما رأيكم..؟
مع تحياتي،،

[laila245]

سلام عليكم
استاذ ghmath
الزاويتان 150 ،330 تجعل المجموع بالسالب أي - جذر (3 )/4

[3alloushi]

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_18879394.bmp

[aattiy]

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_33972168.JPG

[aattiy]

شكرا للجهود التى يبذلها القائمون على العمل فى هذا المنتدى

[المشرف]

السلام عليكم
يمكن حل السؤال بدون استخدام المتتاليات الهندسية
ظا س ــ ظا3س + ظا5 س ــ ظا7 س + ......... = جذر3 / 4
بأخذ ــ ظا2 س عامل مشترك من بعد الحد الثاني
ظاس ــ ظا2س ( ظاس ــ ظا3س + ظا 5 س + ........ ) = جذر 3 / 4
ظاس ــ ظا2س × جذر 3 / 4= جذر 3 / 4 بالضرب في 4
4 ظا س ــ جذر 3 × ظا2س = جذر 3
وبترتيب المعادلة : جذر 3 × ظا2 س ــ 4 ظا س + جذر 3 = 0
وبالتحليل : ( جذر 3 × ظا س ــ 1)( ظا س ــ جذر 3 ) = 0
إما جذر 3 × ظا س ــ 1 = 0 ومنها ظا س = 1 / جذر 3
إما س تقع في الربع الأول أو الثالث ومنها س = 30 أو س = 210
وإما ظا س = جذ ر 3 ، إما س تقع في الربع الأول أو الثالث
ومنها س = 60 أو س = 240
مجموعة الحل = { 30 ، 60 ، 210 ، 240 }
وشكرا

[aattiy]

أخي المشرف :
الزاوية 60 درجة و 240 درجة تجعل ظا(60) =ظا(240)=الجزر التربيعى للعدد 3 .

مما يجعل المتسلسلة غير تقاربية لأن نهاية الحد النونى فى هذه الحالة تساوى + أو - مالانهاية وشرط التقارب أن نهاية الحد النونى يجب أن تساوى الصفر (يمكن مراجعة المتسلسلات تبادلية الإشارة وقاعدة ليبنز لذلك) . بمعنى أن المجموع فى هذه الحالة غير محقق لنص المسألة

لذلك أن الحل 60 درجة و 240 درجة لا يصلح

إذن الحل فقط هو { 30 ، 210} .

شكرا

[حسام محمد]

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_18879394.bmp


حل مميز:ty:

[المشرف]

كلامك صحيح أخي
نسيت أنه المتتالية غير منتهية

[uaemath]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

أشكر جميع الإخوة و الأخوات الذين انضموا إلى المسابقة و كذلك الذين لم

ينضموا و لكن يتابعونها، النتيجة حتى الآن

تم حساب 1 نقطة لجميع الحلول الأخرى في السؤال الرابع تجاوزا ، و بدءا من

السؤال الخامس لن تحتسب أي نقاط للحلول المكررة :

النتيجة :

محمد علي القاضي : 7


la245 : 6


محمد الزواوي: 5



استاذ الرياضيات : 4



صوفي: 3



yousuf : 3



سيد كامل: 3



3alloushi: 2



المشرف: 2



jameaa12: 2



ميكانيكا : 2


new_sms: 1



فيصل المريمي: 1



mathematicslo: 1



ميكو 13 : 1



منعم مصدق: 1



حسان: 1



happy1967: 1



saed: 1



البحطيطي: 1



الرباطبي: 1



aattiy: 1


:clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

==========================


قوانين المسابقة على الرابط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706


موعد طرح السؤال السادس مساء اليوم في الخامسة مساء بتوقيت غرينتش ، ما زال بإمكان الأعضاء وضع حلول أخرى لأي سؤال و الحصول على نقاط

[elraiee]

مجرد تمرين هندسي أحاول التوصل الى حل آخر له فيصعب علي رجاء محاولة الحل :
ارسم مثلث مختلف الزوايا ثم نصف زاويتين منه غير متساويتين ثم اثبت ان طول منصف الزاوية الصغيرة يكون اكبر من طول المنصف الآخر (المقصود بالمنصف القطعة المستقيمة التي تبدأ من رأس الزاوية وتنتهي عند الضلع المواجه لها من المثلث.)