مفاهيم رياضية (1): حلول المعادلات

[azzam99]

اذا كان س^2 - 1 =0 فمن المؤكد انه لا يوجد حل ضمن الاعداد الحقيقية
لكن ما الخطا في الخطوة التالية س^2=1
نربع الطرفين وهنا تكمن المشكلة يصبح
س^4=1 باخذ الجذر الرابع للطرفين فان س=+1 او -1
نعلم ان المميز سالب ولا تحلل ولا يوجد عدد يحقق ذلك.
مثال كذلك س=3 ربع الطرفين ثم ناخذ الجذر التربيعي ينتج س=+3,-3
هل انه في حالة اخذ التربيع نتج اقتران جديد ؟ما هو التفسير الرياضي
مع الشكر الجزيل

[أمين]

السلام عليكم

أخي azzam99 لم أفهم الإشكال الحاصل عندك
المعادلة : س^2 - 1 =0
لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية : +1 و -1
والمميز =4 >0
أم أنك تقصد : س^2 +1 =0 ؟

[uaemath]

:wave: azzam99

إذا طبّقت نفس العملية الرياضية على جانبي معادلة صحيحة ، فإنك ستحصل

على معادلة صحيحة أخرى.

لذلك إذا كان لديك معادلة متحققة بواسطة المجهول س و طبّقت نفس العملية على

جانبي المعادلة ، المعادلة الجديدة ستظل متحققة بواسطة المجهول س

و لكنها قد تحتوي على حلول أخرى

لنضع تعريفا للعمليات

عكسية :لدينا نفس الحلول قبل و بعد تطبيق العملية على جانبي المعادلة.

غير عكسية : لدينا نفس الحلول قبل و بعد تطبيق العملية على جانبي المعادلة

بالإضافة إلى حلول أخرى

أمثلة :

العملية " بالضرب في 2 " عكسية على سبيل المثال :

مجموعة حلول المعادلة س² - 5 س + 2 = - 2

هي نفس مجموعة حلول المعادلة 2س² - 10 س + 4 = - 4

مجموعة الحلول هنا { 1 ، 4 }

مثال آخر على عملية عكسية : اطرح 5

كمثال على عملية غير عكسية : تربيع الطرفين

س = - 3 لديها حلا واحدا و لكن س² = 9 لديها حلان

مثال آخر : الضرب بـ ( س - 4 ) ، المعادلة الجديدة لديها جميع حلول المعادلة

الأصلية بالإضافة إلى س = 4

و لذلك عند حل المعادلات علينا الإلتزام بالقانون التالي :

إذا طبّقنا عملية غير عكسية (التي ينتج عنها حلول إضافية) على معادلة ما ،

علينا التحقق من الجذور في نهاية الحل.

ذلك أننا عند نهاية الحل ، لن يكون لدينا حلول المعادلة الأصلية فحسب و لكن

محتمل أن يكون لدينا حلول جديدة لا تحقق المعادلة الأصلية.

مثال :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0700970001172674786.png

بإضافة + 2 للطرفين ( عملية عكسية ) :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0857192001172674873.png

بتربيع الطرفين (عملية غير عكسية) :

2x + 12 = x²+ 4x + 4

بإجراء عمليات عكسية من طرح و جمع على الطرفين ، نصل إلى :

x² + 2x - 8 = 0

و ينتج عنها :

x = 2 or x = - 4

الآن علينا أن نتحقق من أن هذه الحلول تحقق المعادلة الأصلية :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0497874001172675252.png

إذن x = 2 حل مقبول للمعادلة الأصلية

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0779093001172675412.png

إذن x = - 4 لا تحقق المعادلة الأصلية و عليه فهي ليست حلا

لذلك من الضروري التحقق من الحلول عقب حل أي معادلة تحتوي على جذور


لقد كان موضوعك ملهما و أوحى إلي بالبدء في

وضع سلسلة من المواضيع للأخطاء الشائعة في الرياضيات ، أشكرك :ty:

[yousuf]

اها الحين فهمت مشكور استاذ

[azzam99]

شكرا
هيه المشكله كانت
ان عندما س^2+1=0
تم نقل العدد 1
اصبحت س^2=-1
عندما ربعنا الطرفين مره اخرى اصبحت س^4=1
اذا س=1 مع انه لايوجد حل لها اصلا
بصراحه لم افهم جيدا التوضيح
اتمنا منكم اذا ممكن بصوره ابسط

[azzam99]

شكرا لقد قراته جيدا الان وفهمته

[uaemath]

شكرا
هيه المشكله كانت
ان عندما س^2+1=0
تم نقل العدد 1
اصبحت س^2=-1
عندما ربعنا الطرفين مره اخرى اصبحت س^4=1
اذا س=1 مع انه لايوجد حل لها اصلا
بصراحه لم افهم جيدا التوضيح
اتمنا منكم اذا ممكن بصوره ابسط

أهلا أخي :

المعادلة الأصلية : س² = - 1 ، لا حل لها في الأعداد الحقيقية

تربيع الطرفين ( عملية غير عكسية) : س⁴ = 1

حلها :

س⁴ - 1 = 0

(س²- 1 ) (س²+ 1) = 0

الحلول س = - 1 ، س = 1 ، بما أننا طبّقنا عملية غير عكسية (التربيع)

علينا التحقق من أن الحلول تحقق المعادلة الأصلية :

س = 1 ، س² = 1 http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0669721001172677902.png -1

س = -1 ، س² = 1 http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0669721001172677902.png -1

كلاهما لا يحققان المعادلة الأصلية و عليه لا تعارض مع حل المعادلة الأصلية بأنه

لا حل لها في الأعداد الحقيقية

[azzam99]

اذا لا يمكن ان يكون القول التالي صحيحا
انه اذا ضربنا او جمعنا او اي عمليه حسابية للطرفين تبقى المعادلة متزنه
اي الحلول واحده,للاسف هذا ما نتعلمه

[uaemath]

اذا لا يمكن ان يكون القول التالي صحيحا
انه اذا ضربنا او جمعنا او اي عمليه حسابية للطرفين تبقى المعادلة متزنه
اي الحلول واحده,للاسف هذا ما نتعلمه

للأسف أخي هذا ما تعلمته أنا أيضا ، و هذا خطأ لا يقع فيه الطلبة فحسب و لكن بعض المدرسين و لكن الصحيح أن كل عملية تطبّق على المعادلة و ينتج عنها حلول إضافية ، ليس من الضروري أن تحقق هذه الحلول المعادلة الاصلية و في هذه الحالة يجب التحقق من أن الحلول تحقق المعادلة الأصلية و ذلك بواسطة التعويض.

بالنسبة للعبارة أعلاه : تكون صحيحة إذا ضربنا أو جمعنا أو طرحنا أعدادا

أما إذا ضربنا بكمية تحوي المتغير س فقطعا ليست صحيحة

و قطعا ليست صحيحة إذا قلنا : أي عملية حسابية

أشكرك مرة أخرى على الموضوع الملهم و انتظر مني سلسلة مواضيع تبحث

في أخطاء مشابهة :ty:

[azzam99]

شكرا يا استاذي واتمنا من كل قلبي ان أطلع على ذلك الكتاب في حال اصداره.

اتمنا ان نجد اساتذه من امثالكم ممن يتحقق من اي معلومه قبل ان يعلمها للطالب.
شكرا والف الف شكر

[دلوعه حيل]

مشكورررررررين على هذا الموضوع وأتمنى أن تذكروا أكثر من مثال لان عجبني الموضوع وووووووووووووايد بليز

[ابو روفيدة]

الشكر للاخوة على هذه المعلومات

[Laurent]

حسب ما تعلمت في دراساتي بالضبط مثل ما ذكر الاستاذ عن العلاقة العكسية و غير العكسية بشكل عام غير مفضل ان تضرب بجهول و غالبا هلشي يعطيك حلول وهمية مثال للاخت دلوعة :
ابسط مثال س-٣=٠ لها حل وحيد هو س= ٣ بضرب الطرفين ب س-->
س^٢-٣س=٠
و هكذا بدون ان نشعر اضفنا حلا وهميا هو :س=٠
تربيع الطرفين الموقع بالخطا يتوضح بنفس المثال بنقل -٣ للطرف الاخر و التربيع -->
س^٢=٩ اذن س={٣,-٣} اي ايضا حل وهمي ..
اما اخي الذي طرح الموضوع اود ان اسدي له نصيحة:
في االمعادلات المركبة (العقدية) يفضل استخدام المتطابقات فهذه الخاصية مميزة جدا في هذه المجموعة بالتحديد
توضيح :
كلنا نعلم انه في الاعداد الحقيقة : ا^٢ - ب^٢=(ا-ب)(ا+ب) ;ا,ب>٠
و لا يمكننا في الاعداد الحقيقة تطبيق هذه الخاصية على ا^٢+ب^٢
اما في الاعداد المركبة:
س^٢+١=٠ --->> س^٢ - (-١)=٠
--->> س^٢ - (جذر -1 )^٢=٠
--->> س^٢ - (i)^٢ = ٠ ; حيث جذر -١ = i
ومنه (س-i)(س+i)=٠
٠--> اما : (س-i)=٠ ---> س=i
او : (س+i) = ٠ ---> س= -i
و هذه المتطابقة صالحة لكل الاسس الزوجية

دعني ايضا اعطيك طريقة حساب الجذر n لعدد مركب :
الجذر من الدجة n لعدد is (z=x+iy) :


http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239723352.jpg

احرص على تطبيقها من اجل كل قيم k المذكورة و اعلم ان | z | هو مقياس العدد =جذر (x^2+y^2)
اما t السعة تحصل عليها : cost=X/ | z | , sint= Y/ | z | by
او حول الى صيغة e و اجذر..
فمثلا س^٢ + ١= ٠ -->> س^٢ = -١
نجذر جذر مركب : | z | = ١ , cos t = -١ , sin t=٠
--> t= pi (180 deg) then
بتطبيق القانون k € {0,1} where
---> الجذر الاول هو i , الثاني -i
اسف للاطالة اردت ان اوضح لماذا لا نستخدم هذه الطرق و خاصة الاولى بدلا من تربيع الطرفين او ضرب بمجهول حتى لا نقع في الخطا

[أبومدين]

ارجو افادتي عن كيفية المشاركة؟ اعني كيف يمكنني وضع مسائل رياضية في المنتدى

[أيمن رمزي]

يرجع ذلك لأن المعادلة الناتجه عن التربيع هى معادلة مكافئة للمعادلة الأصلية
ومجموعة الحل لها أوسع من مجموعة الحل للمعادلة الأصلية وتكون مجموعة
حل المعادلة الأصلية مجموعة جزئية من مجموعة الحل للمعادلة المكافئة
وبما أن (( فاى )) المجموعة الخالية هى مجموعة جزئية من مجموعة الحل للمعادلة المكافئة إذن فهو حل لها.

[moahmed]

حسب ما تعلمت في دراساتي بالضبط مثل ما ذكر الاستاذ عن العلاقة العكسية و غير العكسية بشكل عام غير مفضل ان تضرب بجهول و غالبا هلشي يعطيك حلول وهمية مثال للاخت دلوعة :
ابسط مثال س-٣=٠ لها حل وحيد هو س= ٣ بضرب الطرفين ب س-->
س^٢-٣س=٠
و هكذا بدون ان نشعر اضفنا حلا وهميا هو :س=٠
تربيع الطرفين الموقع بالخطا يتوضح بنفس المثال بنقل -٣ للطرف الاخر و التربيع -->
س^٢=٩ اذن س={٣,-٣} اي ايضا حل وهمي ..
اما اخي الذي طرح الموضوع اود ان اسدي له نصيحة:
في االمعادلات المركبة (العقدية) يفضل استخدام المتطابقات فهذه الخاصية مميزة جدا في هذه المجموعة بالتحديد
توضيح :
كلنا نعلم انه في الاعداد الحقيقة : ا^٢ - ب^٢=(ا-ب)(ا+ب) ;ا,ب>٠
و لا يمكننا في الاعداد الحقيقة تطبيق هذه الخاصية على ا^٢+ب^٢
اما في الاعداد المركبة:
س^٢+١=٠ --->> س^٢ - (-١)=٠
--->> س^٢ - (جذر -1 )^٢=٠
--->> س^٢ - (i)^٢ = ٠ ; حيث جذر -١ = i
ومنه (س-i)(س+i)=٠
٠--> اما : (س-i)=٠ ---> س=i
او : (س+i) = ٠ ---> س= -i
و هذه المتطابقة صالحة لكل الاسس الزوجية

دعني ايضا اعطيك طريقة حساب الجذر n لعدد مركب :
الجذر من الدجة n لعدد is (z=x+iy) :


http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239723352.jpg

احرص على تطبيقها من اجل كل قيم k المذكورة و اعلم ان | z | هو مقياس العدد =جذر (x^2+y^2)
اما t السعة تحصل عليها : Cost=x/ | z | , sint= y/ | z | by
او حول الى صيغة e و اجذر..
فمثلا س^٢ + ١= ٠ -->> س^٢ = -١
نجذر جذر مركب : | z | = ١ , cos t = -١ , sin t=٠
--> t= pi (180 deg) then
بتطبيق القانون k € {0,1} where
---> الجذر الاول هو i , الثاني -i
اسف للاطالة اردت ان اوضح لماذا لا نستخدم هذه الطرق و خاصة الاولى بدلا من تربيع الطرفين او ضرب بمجهول حتى لا نقع في الخطا
السلام عليكم
اخواني : ما الذي اقرأه ؟!
المعادلة لا يصح تربيع طرفيها اذا كان احد الطرفين سالب فمثلا س = - 2 وبالتربيع نحصل على س = + أو - 2 وهذا يخالف المعادلة الاصلية

[hobs_dido]

شكرا على الموضوع المتميز

[Hadeer]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته بعدالتحية اناهدير فى الصف الاول الثانوى عندى اول حصة فى حساب المثلثات ما هى اهم النقاط التى يجب ان انتبه لها لان معظم اصحابى قالوالى انها صعبة ولكم جزيل الشكر

[فادي شليمون]

اتمنى تقبل هذا المرور من خلال تصفحي لما ورد اعلاه اريد ان اضيف معلومة صغيرة من خلال هذا المثال
س+3=0 لها حل وحيد و هو س=-3 (تمام) ولكن هنا لا يحق لنا تربيع الطرفين
فمثلا اذا كان لدينا 2>-3 فاذا ربعنا الطرفين لوجدنا ان (2)^2 ليست اكبر من (-3)^2 اذن لكي اربع طرفين يجب ان تناكد من ان المقادير موجبة في طرفي العلاقة (اي المتراجحة)

اتمنى تقبل هذا المرور و شكرا لكم جميعا