المسابقة الرياضية (2) - السؤال 6

[uaemath]

السؤال السادس من الاستاذة la245:

أثبت أن كل نقطة ( س ، ص ) في مجموعة حل النظام :

س² - 2 ص = 5

ص² - 4 س = 15

تبعد مسافة 5 وحدات عن النقطة ( 2 ، 1 )

=============================
Show that every point
( x , y )
in the solution set of the following system

x² - 2y = 5
y² - 4x = 15

is at a distance of 5 units from the point
(1 , 2 )

بالتوفيق للجميع

رجاء من الإخوة و الأخوات قراءة جميع الحلول حتى لا يكرروا الحل - الحلول المكررة سيتم حذفها

===================

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706

[محمد على القاضى]

نفرض ان النقطة التى تنتمى لمجموعة حل النظام هى هـ = ( ا ، ب )
اذن فهى تحقق المعادلتين
ا ^2 - 2ب = 5 (1) ،، ب^2 - 4ا = 15 (2)
نفرض ان النقطة المعطاة = ل (2 ،1 )
بما ان هـ ل = الجذر التربيعى للمقدار ( (ا - 2)^2 + (ب - 1)^2)
هـ ل = الجذر التربيعى (ا^2 - 4ا + 4 + ب^2 -2ب + 1)
بالتعويض من (1) ، (2)
هـ ل = 5

[سيد كامل]

السلام عليكم
بجمع المعادلتين نجد ان
س^2+ص^2 -4س -2ص -20 =0 وهي معادلة دائرة
ل= 4 ، ك = 2 ، جـ = -20
م( -ل/2 ، -ك/2) = (2، 1) نق = 1/2 جذر (ل^2 +ك^2 -4جـ)
نق = 1/2 جذر (100)= 5
اذن الدائرة مركزها (2 ، 1) وطول نصف قطرها = 5 وحدات
كل نقطة تقع علي هذه الدائرة تبعد 5 وحدات عن مركزها

[saed]

بسم الله الرحمن الرحيم
بجمع المعادلتينس2 - 2 ص = 5

ص2 - 4 س = 15
س2+ص2 -2ص-4س -20 =0
معامل س2 = معامل ص2 العلاقه تمثل داءره
مركذها م = (-1/2 معامل س ، -1/2 معامل ص) = (1،2)
نق = جزر ل2+ م2 - جـ = جزر4+1+20 = 5
النقطه (1،2)هى مركز الدائره هى على بعد ثابت من أى نقطه على الداءره
سعيد الصباغ

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المعادلتان المعطيتان تمثلان قطعان مكافيئان نقط تقاطعهما تنتمى للدائرة

س2 + ص2 -4س -2 ص -20 = 0

التى مركزها ( 2 ,1) ونصف قطرها = 5

فتكون جميع نقط التقاطع للقطعان المذكوران على بعد 5 من النقطة (2, 1)

[محمدالزواوى]

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته:
بفرض حل المعادلتين على صوره الزوج المرتب (ا، ب)
اذا ا^2-2ب= 5 ــــــــــ(1)
ب^2-4ا=15 ـــــــــــــــ(2)
بالجمع ينتج ا^2+ب^2-4ا-2ب=20 باضافه 5 للطرفين
(ا^2 -4ا +4)+(ب^2-2ب+1)=25
اى (ا -2)^2+ (ب-1)^2= 25 علاوه على ان هذه معادله دائره مركزها (2، 1)
ونصف قطرها 5 مما يحقق المطلوب ولكن سنكمل بطريقه اخرى
باخذ جذر الطرفين
ج[ (ا-2)^2 +(ب-1)^2] = 5 (سنهمل -5 لاننا نتحدث عن بعد اى طول)
والمعادله السابقه هى قانون البعد بين النقطتان (ا، ب) و(2، 1) وهو = 5
اى ان اى حل لنظام المعادلات المعطاه سيكون بعده عن (2،1) = 5 #
[ارجوا ان اكون اضفت جديد وتقبلوا شكرى وتقديرى ( اخوكم الزواوى)]

[aattiy]

<img src="http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_83918457.JPG">

[حسام محمد]

أحسنت أخي aattiy وبارك الله فيك

هذا ما نريده حلول مميزة

حبذا لو شرحت كيفية استنتاج هاتين القيمتين بواسطة فيراري

في موضوع مستقل

للفائدة جزاك الله خيراً

[uaemath]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

أشكر جميع الإخوة و الأخوات الذين انضموا إلى المسابقة و كذلك الذين لم

ينضموا و لكن يتابعونها، النتيجة حتى الآن


النتيجة :

محمد علي القاضي : 10


la245 : 6


محمد الزواوي: 6



استاذ الرياضيات : 5



سيد كامل: 4



صوفي: 3



yousuf : 3



3alloushi: 2



aattiy: 2



saed: 2




المشرف: 2



jameaa12: 2



ميكانيكا : 2


new_sms: 1



فيصل المريمي: 1



mathematicslo: 1



ميكو 13 : 1



منعم مصدق: 1



حسان: 1



happy1967: 1



البحطيطي: 1



الرباطبي: 1



:clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap: :clap:

==========================

[size=6]
قوانين المسابقة على الرابط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706