abo_rami2004
14-03-2007, 10:37 PM
حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع
--------------------------------------------------------------------------------
حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع
الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر
خطوات الحل
أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر
ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه
ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين
رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2
خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .
سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين
مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
2س^2 + 4س – 16 = صفر
بإضافة + 16 للطرفين
2س^2 + 4س = 16
بالقسمة على معامل س^2 وهو 2
س^2 + 2س = 8
معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1
بإضافة 1 للطرفين
س^2 + 2س + 1= 8 + 1
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س + 1 )^2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
( س + 1 )^2 = 9
س + 1 = 3
بإضافة -1 للطرفين
س = 2
أو
س + 1 = -3
بإضافة -1 للطرفين
س = -4
مجموعة الحل : { 2 ، -4}
مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
س^2 - 8س + 15 = صفر
بإضافة -15 للطرفين
س^2 - 8س = -15
معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16
س^2 - 8س + 16 = -15 + 16
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 4 )^2 = -15 + 16
( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س – 4 = 1
بإضافة +4 للطرفين
س = 5
أو
س – 4 = - 1
بإضافة +4 للطرفين
س = 3
مجموعة الحل = { 5 ، 3 }
مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
س^2 - 4س = 12
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = 12 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 2 )^2 = 12 + 4
( س - 2 )^2 = 16
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4
بإضافة + 2 للطرفين
س = 6
أو
س - 2 = -4
بإضافة + 2 للطرفين
س = -2
مجموعة الحل = { 6 ، -2 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
4س^2 - 16س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين
4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4
س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 2 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1
بإضافة + 2 للطرفين
س = 3
أو
س - 2 = -1
بإضافة + 2 للطرفين
س = 1
مجموعة الحل = { 3 ، 1 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين
3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3
س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س + 2 )^2 = صفر
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س + 2 = صفر
بإضافة + 2 للطرفين
س = -2
مجموعة الحل = { -2 }
ملاحظة : المعادلة السابقة لها حلان متشابهان
هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط .
( لماذا ؟ )
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
2س^2 - 12س + 20 = صفر
بإضافة - 20 للطرفين
2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2
س^2 - 6س = -10
معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9
س^2 - 6س + 9 = -10 + 9
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 3 )^2 = -1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل
--------------------------------------------------------------------------------
حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع
الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر
خطوات الحل
أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر
ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه
ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين
رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2
خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .
سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين
مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
2س^2 + 4س – 16 = صفر
بإضافة + 16 للطرفين
2س^2 + 4س = 16
بالقسمة على معامل س^2 وهو 2
س^2 + 2س = 8
معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1
بإضافة 1 للطرفين
س^2 + 2س + 1= 8 + 1
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س + 1 )^2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
( س + 1 )^2 = 9
س + 1 = 3
بإضافة -1 للطرفين
س = 2
أو
س + 1 = -3
بإضافة -1 للطرفين
س = -4
مجموعة الحل : { 2 ، -4}
مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
س^2 - 8س + 15 = صفر
بإضافة -15 للطرفين
س^2 - 8س = -15
معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16
س^2 - 8س + 16 = -15 + 16
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 4 )^2 = -15 + 16
( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س – 4 = 1
بإضافة +4 للطرفين
س = 5
أو
س – 4 = - 1
بإضافة +4 للطرفين
س = 3
مجموعة الحل = { 5 ، 3 }
مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
س^2 - 4س = 12
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = 12 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 2 )^2 = 12 + 4
( س - 2 )^2 = 16
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4
بإضافة + 2 للطرفين
س = 6
أو
س - 2 = -4
بإضافة + 2 للطرفين
س = -2
مجموعة الحل = { 6 ، -2 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
4س^2 - 16س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين
4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4
س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 2 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1
بإضافة + 2 للطرفين
س = 3
أو
س - 2 = -1
بإضافة + 2 للطرفين
س = 1
مجموعة الحل = { 3 ، 1 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين
3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3
س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س + 2 )^2 = صفر
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س + 2 = صفر
بإضافة + 2 للطرفين
س = -2
مجموعة الحل = { -2 }
ملاحظة : المعادلة السابقة لها حلان متشابهان
هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط .
( لماذا ؟ )
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
2س^2 - 12س + 20 = صفر
بإضافة - 20 للطرفين
2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2
س^2 - 6س = -10
معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9
س^2 - 6س + 9 = -10 + 9
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2
( س - 3 )^2 = -1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل