abo_rami2004
14-03-2007, 11:47 PM
تطبيقات حساب التفاضل
النقط الحرجة :
وتعتبر النقط الحرجة من الأساسيات في هذا الباب ، حيث تعتمد عليها جميع الموضوعات .
تعريفها : هي النقط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرا ، أو تكون غير معرفة .
الدوال المطردة :
هي عملية تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة على مجالها .
الطريقة :
* نوجد مجال الدالة
++++ نوجد مشتقة الدالة ثم نوجد أصفارها ومواضع عدم تعريفها .
++++* نحدد اشارة مشتقة الدالة دَ(س) على خط الأعداد ثم نقرر مايلي :
إذا كانت الإشارة موجبة + فإنها متزايدة وإذا كانت سالبة - فإنها متناقصة .
تمرين : ابحث اطراد الدالة : د(س) = س2 - 6س + 4 على مجالها ؟ .
الحل : الدالة متزايدة في ]- ∞ ، 3] ، وتزايدية في [3 ، ∞[ .
القيم العظمى والصغرى المحلية :
نظرية هامة : كل قيمة قصوى محلية هي نقطة حرجة والعكس غير صحيح .
نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة عن طريق تصنيف النقط الحرجة بطريقتين :
1- اختبار المشتقة الأولى : وذلك بتقسيم خط الأعداد بالنقط الحرجة ، ثم ندرس تغير اشارة دَ(س)
ثم نلاحظ التغير :
- إذا كان من تزايد ( + ) إلى تناقص ( - ) فيكون عند هذه النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية للدالة .
- وإذا كان من تناقص إلى تزايد فعندها يكون للدالة قيمة صغرى محلية .
- وإذا كانت اشارة دَ لم تتغير على خط الأعداد حول النقطة الحرجة (من + إلى + ، أو من - إلى - ) فإنها ليست قصوى محلية .
2- اختبار المشتقة الثانية :
لتكن جـ نقطة حرجة للدالة د :
- إذا كانت دً(ج) موجبة فإنها قيمة صغرى محلية للدالة.
- إذا كانت دً(ج) سالبة فإنها قيمة عظمى محلية للدالة .
- إذا كانت دً(ج) = 0 أو غير معرفة فإن اختبار دً فاشل ، وعندها نستخدم اختبار المشتقة الأولى .
تمرين : أوجد القيم القصوى المحلية للدالة : د(س) = 12 + 2س2 - س4 .
التقعر ونقط الانقلاب :
متى نقول عن دالة د بأنها مقعرة لأعلى أو لأسفل ؟
* نقول أنها مقعرة لأعلى في الفترة ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا فوق مماساته في الفترة .
* نقول أنها مقعرة لأسفل في ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا تحت مماساته في الفترة .
ماهي نقط الانقلاب (الانعطاف) ؟ .
هي نقطة من مجال الدالة يتغير حولها التقعر .
كيف تبحث التقعر ونقط الانقلاب ؟ .
1- نوجد المجال .
2- نوجد المشتقة الثانية دً(س) ، ومنها نوجد أصفارها ونقط عدم وجودها .
3- نبحث اشارة دً على خط الاعداد ونقرر ما يلي :
* إذا كانت موجبة (+) فإن المنحنى مقعر لأعلى ، وإذا كانت سالبة فإنه مقعر لأسفل .
4- عندما يحدث تغير في التقعر من أعلى لأسفل أو العكس فإنها نقطة انقلاب .
تمرين :حدد تقعر منحنى الدالة د(س) = س3 - 6س2 + 2س -3 ، ثم أوجد نقط الانقلاب ؟ .
الحل : المنحنى مقعر لأعلى في [2 ، ∞[ ، ومقعر لأسفل في ]- ∞ ، 2] ، ونقطة الانقلاب هي (2 ، -15) . عليك تفصيل خطوات الحل في خط الاعداد .
رسم المنحنيات (كثيرات الحدود) :
عزيزي الطالب اجعل رسم المنحنيات أمرا سهلا ولا تصعب عليك الأمور وهي سهلة ، هناك خطوات أساسية تضمن لك رسم المنحنى بدقة وجميعها تعتمد على المواضيع السابقة .
خطوات رسم المنحنى لدالة :
1- دراسة الدالة من حيث :
* تحديد المجال .
++++ التناظر : إذا كانت د(-س) = د(س) فإن الدالة زوجية إذن المنحنى متماثل حول محورص .
إذا كانت د(-س) = - د(س) فإن الدالة فردية ، إذن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل .
++++* التقاطع : مع محور ص 000 نضع س = 0 ثم نعوض بالدالة ، أي (د(0) ، 0) .
مع محور س 000نضع ص = 0 ثم نحل المعادلة ونوجد قيم س ونعوض بالدالة .
2- دراسة مشتقة الدالة دَ من حيث : الاطراد والقيم القصوى المحلية (تصنيف النقط الحرجة) .
3- دراسة المشتقة الثانية للدالة دً من حيث التقعر ونقط الانقلاب .
4- يمكن أن تحتاج لنقط مساعدة لإكمال رسم المنحنى .
تمرين : ارسم منحنى الدالة التالية مع التفصيل : د(س) = 6س2 - س4 - 5
النقط الحرجة :
وتعتبر النقط الحرجة من الأساسيات في هذا الباب ، حيث تعتمد عليها جميع الموضوعات .
تعريفها : هي النقط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرا ، أو تكون غير معرفة .
الدوال المطردة :
هي عملية تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة على مجالها .
الطريقة :
* نوجد مجال الدالة
++++ نوجد مشتقة الدالة ثم نوجد أصفارها ومواضع عدم تعريفها .
++++* نحدد اشارة مشتقة الدالة دَ(س) على خط الأعداد ثم نقرر مايلي :
إذا كانت الإشارة موجبة + فإنها متزايدة وإذا كانت سالبة - فإنها متناقصة .
تمرين : ابحث اطراد الدالة : د(س) = س2 - 6س + 4 على مجالها ؟ .
الحل : الدالة متزايدة في ]- ∞ ، 3] ، وتزايدية في [3 ، ∞[ .
القيم العظمى والصغرى المحلية :
نظرية هامة : كل قيمة قصوى محلية هي نقطة حرجة والعكس غير صحيح .
نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة عن طريق تصنيف النقط الحرجة بطريقتين :
1- اختبار المشتقة الأولى : وذلك بتقسيم خط الأعداد بالنقط الحرجة ، ثم ندرس تغير اشارة دَ(س)
ثم نلاحظ التغير :
- إذا كان من تزايد ( + ) إلى تناقص ( - ) فيكون عند هذه النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية للدالة .
- وإذا كان من تناقص إلى تزايد فعندها يكون للدالة قيمة صغرى محلية .
- وإذا كانت اشارة دَ لم تتغير على خط الأعداد حول النقطة الحرجة (من + إلى + ، أو من - إلى - ) فإنها ليست قصوى محلية .
2- اختبار المشتقة الثانية :
لتكن جـ نقطة حرجة للدالة د :
- إذا كانت دً(ج) موجبة فإنها قيمة صغرى محلية للدالة.
- إذا كانت دً(ج) سالبة فإنها قيمة عظمى محلية للدالة .
- إذا كانت دً(ج) = 0 أو غير معرفة فإن اختبار دً فاشل ، وعندها نستخدم اختبار المشتقة الأولى .
تمرين : أوجد القيم القصوى المحلية للدالة : د(س) = 12 + 2س2 - س4 .
التقعر ونقط الانقلاب :
متى نقول عن دالة د بأنها مقعرة لأعلى أو لأسفل ؟
* نقول أنها مقعرة لأعلى في الفترة ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا فوق مماساته في الفترة .
* نقول أنها مقعرة لأسفل في ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا تحت مماساته في الفترة .
ماهي نقط الانقلاب (الانعطاف) ؟ .
هي نقطة من مجال الدالة يتغير حولها التقعر .
كيف تبحث التقعر ونقط الانقلاب ؟ .
1- نوجد المجال .
2- نوجد المشتقة الثانية دً(س) ، ومنها نوجد أصفارها ونقط عدم وجودها .
3- نبحث اشارة دً على خط الاعداد ونقرر ما يلي :
* إذا كانت موجبة (+) فإن المنحنى مقعر لأعلى ، وإذا كانت سالبة فإنه مقعر لأسفل .
4- عندما يحدث تغير في التقعر من أعلى لأسفل أو العكس فإنها نقطة انقلاب .
تمرين :حدد تقعر منحنى الدالة د(س) = س3 - 6س2 + 2س -3 ، ثم أوجد نقط الانقلاب ؟ .
الحل : المنحنى مقعر لأعلى في [2 ، ∞[ ، ومقعر لأسفل في ]- ∞ ، 2] ، ونقطة الانقلاب هي (2 ، -15) . عليك تفصيل خطوات الحل في خط الاعداد .
رسم المنحنيات (كثيرات الحدود) :
عزيزي الطالب اجعل رسم المنحنيات أمرا سهلا ولا تصعب عليك الأمور وهي سهلة ، هناك خطوات أساسية تضمن لك رسم المنحنى بدقة وجميعها تعتمد على المواضيع السابقة .
خطوات رسم المنحنى لدالة :
1- دراسة الدالة من حيث :
* تحديد المجال .
++++ التناظر : إذا كانت د(-س) = د(س) فإن الدالة زوجية إذن المنحنى متماثل حول محورص .
إذا كانت د(-س) = - د(س) فإن الدالة فردية ، إذن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل .
++++* التقاطع : مع محور ص 000 نضع س = 0 ثم نعوض بالدالة ، أي (د(0) ، 0) .
مع محور س 000نضع ص = 0 ثم نحل المعادلة ونوجد قيم س ونعوض بالدالة .
2- دراسة مشتقة الدالة دَ من حيث : الاطراد والقيم القصوى المحلية (تصنيف النقط الحرجة) .
3- دراسة المشتقة الثانية للدالة دً من حيث التقعر ونقط الانقلاب .
4- يمكن أن تحتاج لنقط مساعدة لإكمال رسم المنحنى .
تمرين : ارسم منحنى الدالة التالية مع التفصيل : د(س) = 6س2 - س4 - 5