abo_rami2004
14-03-2007, 11:50 PM
حساب التفاضل
عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :
ملاحظة : ص = د(س) ، صَ = تسمى مشتقة الدالة د .
أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :
نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1 .
مثال : د(س) = س^5 + 3س^2 - 7
صَ = 5س^4 + 6س - 7 .
ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :
= (الأولى) . (مشتقة الثانية) + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .
مثال : ص = (3س + 1) . (س^2 - 7س) .
صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س^2 - 7س) . (3) .
= 6س2 - 21س + 2س - 7 + 3س^2 - 21س .
= 9س^2 - 40س - 7
ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :
= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)^2
مثال : ص = س + 3 / 2س .
صَ = (س + 3)^2 / 6 ( عليك تفصيل الحل) .
رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن ( )^ن
= ن ( )^ن- 1 (مشتقة ما بداخل القوس) .
مثال : ص = (س^2 - 9س + 5)^7
صَ = 7 (س^2 - 9س + 5)^6 . (2س - 9)
خامسا : مشتقة دالة جذرية :
= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية
سادسا : مشتفة الدالة الأسية
ص = (هـ)د(س) 000 صَ = (هـ)د(س) × دَ(س) ، ( هـ = 2.7183 أو e = 2.7183) .
ص = (عدد)د(س) 000 صَ = (عدد)د(س) × دَ(س) × لو عدد
مثال : ص = (هـ)2س - 5 000 صَ = (هـ)2س - 5 × 2
ص = (7)5س + 3 000 صَ = (7)5س + 3 × 5 × لو7 .
سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية
ص = لو د(س) 000 صَ = دَ(س) ÷ د(س) .
ملاحظات :
- لو هـ = 1 ، لو 1 = 0 .
- لوس + لوص = لو (س × ص)
- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)
- لو س ن = ن لو س
ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية
الدالة .000000000000000000000000000تفاضلها
جا زاوية 000000000000000000000 جتا الزاوية × تفاضل الزاوية 0
جتا زاوية000000000000000000000- جا الزاوية × تفاضل الزاوية
ظا زاوية00000000000000000000000قا2 الزاوية × * * *
0ظتا زاوية000000000000000000000- قتا2 الزاوية × * *
قا زاوية 0000000000000000000000قا الزاوية × ظا الزاوية × تفاضل الزاوية
قتا زاوية0000000000000000000000- قتا الزاوية × ظتا الزاوية × تفاضل الزاوية
مثال : ص = جتا (س^3 - 2س) 000 صَ = -جا(س^3- 2س) × (3س^2 - 2) . أكمل ....
قـاعدة التسلسل
لتكن ع = د(ص) ، ص = د(س) فإن :
د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س
مثال : إذا كان ص= س^2 + س ، ع = ص^2 ، فإن :
د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س
= 2ص × (2س +1)
= 2(س2 + س) × (2س +1)
= 4س3 + 6س2 + 2س
ملاحظة : الاشتقاق المباشر : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل
في المثال السابق ع = (س2 + س)2
عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :
ملاحظة : ص = د(س) ، صَ = تسمى مشتقة الدالة د .
أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :
نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1 .
مثال : د(س) = س^5 + 3س^2 - 7
صَ = 5س^4 + 6س - 7 .
ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :
= (الأولى) . (مشتقة الثانية) + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .
مثال : ص = (3س + 1) . (س^2 - 7س) .
صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س^2 - 7س) . (3) .
= 6س2 - 21س + 2س - 7 + 3س^2 - 21س .
= 9س^2 - 40س - 7
ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :
= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)^2
مثال : ص = س + 3 / 2س .
صَ = (س + 3)^2 / 6 ( عليك تفصيل الحل) .
رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن ( )^ن
= ن ( )^ن- 1 (مشتقة ما بداخل القوس) .
مثال : ص = (س^2 - 9س + 5)^7
صَ = 7 (س^2 - 9س + 5)^6 . (2س - 9)
خامسا : مشتقة دالة جذرية :
= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية
سادسا : مشتفة الدالة الأسية
ص = (هـ)د(س) 000 صَ = (هـ)د(س) × دَ(س) ، ( هـ = 2.7183 أو e = 2.7183) .
ص = (عدد)د(س) 000 صَ = (عدد)د(س) × دَ(س) × لو عدد
مثال : ص = (هـ)2س - 5 000 صَ = (هـ)2س - 5 × 2
ص = (7)5س + 3 000 صَ = (7)5س + 3 × 5 × لو7 .
سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية
ص = لو د(س) 000 صَ = دَ(س) ÷ د(س) .
ملاحظات :
- لو هـ = 1 ، لو 1 = 0 .
- لوس + لوص = لو (س × ص)
- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)
- لو س ن = ن لو س
ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية
الدالة .000000000000000000000000000تفاضلها
جا زاوية 000000000000000000000 جتا الزاوية × تفاضل الزاوية 0
جتا زاوية000000000000000000000- جا الزاوية × تفاضل الزاوية
ظا زاوية00000000000000000000000قا2 الزاوية × * * *
0ظتا زاوية000000000000000000000- قتا2 الزاوية × * *
قا زاوية 0000000000000000000000قا الزاوية × ظا الزاوية × تفاضل الزاوية
قتا زاوية0000000000000000000000- قتا الزاوية × ظتا الزاوية × تفاضل الزاوية
مثال : ص = جتا (س^3 - 2س) 000 صَ = -جا(س^3- 2س) × (3س^2 - 2) . أكمل ....
قـاعدة التسلسل
لتكن ع = د(ص) ، ص = د(س) فإن :
د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س
مثال : إذا كان ص= س^2 + س ، ع = ص^2 ، فإن :
د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س
= 2ص × (2س +1)
= 2(س2 + س) × (2س +1)
= 4س3 + 6س2 + 2س
ملاحظة : الاشتقاق المباشر : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل
في المثال السابق ع = (س2 + س)2