رائعة: أثبت أن ص مضاعف للعدد 24 ؟

[haisem]

اذا كانت س عدد طبيعى وكانت ص = س^4 +6س^3+11س^2+6س
اثبت ان ص مضاعف للعدد 24

[omar]

أهلا .
24=8*3 و العددين 3 و 8 أوليان فيما بينهما إذن يكفي أن نبين أن ص يقبل القسمة علي 3 وعلي 8 ......
أترك الفرصة للأخوة الأعضاء ....
تحياتي للجميع

[عدد تخيلي]

مرحبا

لدي حل يختلف تماما عن حلك أخي عمر

فيمكن حل هذا السؤال بالاستقراء الرياضي

إذا كانت الأعداد الطبيعية لا تضم الصفر :


المطلوب إثباته هو أن = س^4 +6س^3+11س^2+6س = 24أ

نشرع في الاستقراء :

(1) واضح أن العبارة صحيحة عندما س = 1

(2) بفرض أن العبارة صحيحة عندما س = ك

أي أننا فرضنا أن = ك^4 +6ك^3+11ك^2+6ك = 24م

(3) المطلوب إثبات أن العبارة صحيحة عندما س = (ك+1)

أي يجب أن نثبت أن (ك+1)^4+6(ك+1)^3+11(ك+1)^2+6(ك+1)=24خ


الأيمن بعد الفك والاختصار :

(ك^4+6ك^3+11ك^2+6ك)+(4ك^3+24ك^2+44ك+24)

واضح أن القوس الأول هو ما فرضناه في البداية

فنستطيع كتابة الطرف الأيمن على الشكل التالي :

24م + 24ك^2+24 + (4ك^3 + 44ك)

24(م+ك^2+1) + (4ك^3+44ك)

القوس الثاني يقبل القسمة على 24 لكل ك عدد طبيعي ويمكن إثبات ذلك بالاستقراء الرياضي أيضاً

فالنتيجة أنه أصبح بإمكاننا كتابة الطرف الأيمن بهذا الشكل

24(م + ك^2 + 1) + 24ع

=24(م + ك^2 +1 +ع)

إذن العبارة صحيحة عندما س = ك+1

إذن س^4 +6س^3+11س^2+6س يقبل القسمة على 24 لكل س عدد طبيعي
--------------------------------

أما إذا كانت الأعداد الطبيعية تضم الصفر ، فيكفي التعويض عن قيمة س بـ 0 لنرى أن الناتج يقبل القسمة على 24 ، ثم نثبت بقية الأعداد بالاستقراء .

تحياتي

[tanx]

يمكن كتابتة
ص=س(س+1)(س+2)(س+3)
وهي عبارة عن حاصل ضرب أربعة اعداد متتالية
أذن فهي تقبل القسمة على 24

[omar]

أهلا بالأخوين tanx وعدد تخيلي.
فكرة جميلة أخ tanx بتعميل المجموع والحصول على ضرب أربعة اعداد متتالية ومن ثم نبين بسهولة أنه يقبل القسمة على 24 .
ويمكن دائما استعمال الإستقراء الرياضي للإجابة على هذا النوع من التمارين.
تحياتي لكما.