المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : متفاوته أمريكانيه (9)


امام مسلم
11-04-2007, 06:51 PM
ظريفه

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_66076660.JPG

omar
10-08-2007, 12:31 AM
نضع a=\frac{x}{y} و b=\frac{y}{z} و c=\frac{z}{x} حيث x و y و z أعداد حقيقية موجبة قطعا .

إذن المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ (\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x}) \le 1

أي : (x - y + z)(y - z + x)(z - x + y) \le xyz

نضع الآن : x - y + z = \alpha و y - z + x = \beta و z - x + y = \gamma

إذن : \alpha + \beta = 2x و \beta + \gamma = 2y و \gamma + \alpha = 2z .

وبالتالي المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ \left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)\left( {\gamma + \alpha } \right) \ge 8\alpha \beta \gamma

وهذه متفاوتة بسيطة جدا يمكن إثباتها باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي و الهندسي ذلك أنه \alpha + \beta \ge 2\sqrt {\alpha \beta } \,\,,\,\beta + \gamma \ge 2\sqrt {\beta \gamma } \,,\,\gamma + \alpha \ge 2\sqrt {\gamma \alpha }
فيكفي إذن ضرب المتفاوتات الثلاث طرفا بطرف للوصول إلى النتيجة
لكن هذا طبعا يفترض أن تكون الأعداد الثلاثة \alpha و \beta و \gamma موجبة .
أما الحالة التي يكون فيها أحد العددين فقط سالبا فهنا المتفاوتة محققة لأ ن الطرف الأيمن \alpha \beta\gamma سيكون سالبا والأيسر \left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)\left( {\gamma + \alpha } \right) = 8xyz موجبا .
لاحظ أنه لايمكن أن يكون عددان فقط منهما سالبا ولا الثلاثة سالبا !






ملحوظة : الحل منقول للفائدة

ياسين
10-08-2007, 03:24 AM
thank you (استاذ _عمر_ فعلا ضريفة استاذ _امام_)
تحياتي