من أولمبياد المغرب الأقصى

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله :

نعتبر عددين موجبين y,x بحيث x+y=8 .

بين أن :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0964872001176640675.png

بالتوفيق .

[سيد كامل]

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_32607422.GIF

[omar]

أهلا بك أخي سيد وأنا الذي سعيد بمشاركتك هنا .

ياليت لو تعيد النظر في الخطوة الأخيرة ... xy<=16 .

تحياتي لك .

[سيد كامل]

س ص اصغر من او يساوي 16
لذلك فالقيمة العظمي للمقدار س ص + 1 +(1/س ص) = 16+2+(1/16)
= 289/16
ولكن المقدار ( س+1/ص)^2 + (ص+1/س)^2 >= 2(س ص+1+1/(س ص)
>= 2(289/16)
>= 289/8

[جعفر الطيار]

بارك الله فيكم و جزاكم كل خير أستاذنا الغالي عمر...و بانتظار المزيد من ابداعاتكم الرائعة..( لكنني حقيقة لم أفهم شيئا واحد في الحل و هو أن : الوسط الحسابي لعددين حقيقيين موجبين أكبر من الوسط الهندسي - و أظن أننا لم ندرسه بعد - كما أتمنى إن كان هناك حل يلائم المستوى الثالثة اعدادي أن تتحفونا بها)
بارك الله فيكم و أسكننا و إياكم فسيح جنانه..و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

[سيد كامل]

بالفعل الخطوة الاخيرة تحتاج الي مراجعة
وبالتالي الحل كله يحتاج الي مراجعة
اعتذر وساحاول صياغة الحل مرة اخري

[جعفر الطيار]

شكرا لك أخي الكريم...و بانتظار الحل على أحر من الجمر

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله

نزولا عند طلب الأخ جعفر إليك حلا في مستوى السنة الثالثة إعدادي

سنحتاج إلى متفاوتتين بسيطتيين :

الأولى : لكل عددين موجبين قطعا a و b

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0777324001176820279.png
البرهان :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0636721001176820502.png
أي : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0652339001176820612.png
وبالتالي النتيجة المرجوة .

المتفاوتة الثانية وهي : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0308588001176820921.png وهي في الحقيقة نتيجة مباشرة لمتفاوتة الوسط الحسابي والوسط الهارموني ..
البرهان مثل المتفاوتة الأولي يكفي حساب الفرق ودراسة الإشارة .

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0652352001176821420.png
ومنه :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0839877001176822151.png
ومنه نستنتج النتيجة المرجوة .

نلاجع الآن إلى مسألة الأومبياد :

لدينا باستعمال المتفاوتة الأولى :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0121110001176822429.png
ولدينا حسب المتفاوتة الثانية :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0871129001176822553.png

إذن : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0871089001176822668.png
ومنه : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0074226001176822779.png
أي : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0871105001176822893.png

وبالتالي النتيجة المرجوة : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0871116001176822986.png

وكما تلاحظ أخي جعفر فمتفاوتات الوسط الحسابي والهندسي أو الهارموني متفاوتات بسيطة ويسهل البرهان عليها باستعمال خصائص الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية IR وهو درس في مستوى الإعدادي .

تحياتي .

[سيد كامل]

شكرا أز عمر علي الحل
فكرت باسلوب اخر في الحل ولكن عند التطبيق وجدت ان الموضوع سيطول
والفكرة جات لي من خلال تطبيقات المشتقة (القيم العظمي والصغري)
فلو اعتبرنا د(س) = [س +1(/ص)]^2+[ص+(1/س)]^2
ولدينا س + ص =8
فلو تمكن من ايجاد القيمة الصغري للدالة د(س) حتما سيتحقق المطلوب
الان هل يملك احد الوقت لايجاد القيمة الصغري للدالة د(س)