متباينة

[اشرف محمد]

اثبت انه لكل x \geq 1 ، حيت x عدد حقيقي ، ان :

2(3x-1)^x \geq (3x+1)^x

[طالب معرفة]

يمكننا بسهولة إثبات هذه المتباينة باستخدام المتتابعات التقاربية لجميع قيم n الطبيعية
والآن سوف نثبت هذه المتباينة فى الحالة العامة

2(3x-1)^x{\geq (3x+1)^x لأى عدد حقيقيى x{\geq 1}

ليكن f(x)={(1+\frac{2}{3x-1})}^x
ومنها
{\frac{df}{dx}=-2{\frac{f}{(3x-1)^2+2(3x-1)}{\leq 0} لجميع قيم x{\geq 1}
لذلك الدالة تناقصية لجميع قيم x{\geq 1}

لذلك
f(x){\leq f(1)}
ومنها ينتج أن (\frac{3x+1}{3x-1})^x{\leq 2}
ومنها ينتج المطلوب