مسالة قسمة

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته.
اثبت ان : 798 يقسم العدد y*x^19-x*y^19 مهما يكن x وy عددين صحيحين.
تحياتي.

[المتميز]

مرحبا اخ عمر

سؤال رائع ....

798 = 2 × 3 × 7 × 19

ومن نظرية فيرما الصغرى نحصل على

a^19 = a mod 19

a^19 = a^(6*3 + 1) = a mod 7

a^19 = a mod 3

a^19 = a mod 2

ومنه نحصل على ان

y*x^19-x*y^19 = xy - yx = 0 mod 798

لان الاعداد 2، 3، 7، 19 اولية فيما بينها

ولك تحياتي ....

[omar]

أهلا أخي المتميز .
فعلا مفتاح المسالة هو ملاحظة أن 798=19*7*3*2 واستعمال نظرية فيرما .
لدي ملاحظة بسيطة عند استعمال نظرية فيرما الصغرى
n^(p-1)=1 mod p
هو ملاحظة الشرط n و p أوليان فيما بينهما أو p لايقسم n .
لذلك يجب دراسة الحالات 7 يقسم xy و 3 يقسم xy و 2 يقسم xy .
لكن أتصور أنك لم تتطرق إلى هذه الحالات لبداهتها.
أشكرك أخي المتميز .






ملحق
استنتج من الطريقة المعتمدة في الحل السابق أكبر عدد يمكن أن تجده بحيث يقسم :
y*x^61-x*y^61 مهما يكن x و y عددين صحيحين .

[المتميز]

مرحبا اخي عمر

الواقع انني لم اقل ان a^18 = 1 mod 3 لاننا في هذه الحالة لا بد ان نفرض ان 3 لا تقسم a

ولكنني ذكرت ان a^19 = a mod 3 وهي عبارة صحيحة لاي عدد a

تحياتي لك .....

[omar]

أهلا بالأخ المتميز.


ومن نظرية فيرما الصغرى نحصل على
a^19 = a mod 19
a^19 = a^(6*3 + 1) = a mod 7
a^19 = a mod 3
a^19 = a mod 2

في الحقيقة اعتقدت أنك استعملت مبرهنة فيرما الصغرى كما هو مبين في بداية مشاركتك وهذا ما فعلته أنا ....
لكن يبدو أنني كنت خاطئا....
تحياتي لك وأنتظر مشاركتك في المسألة الملحقة.