المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : حدد جميع الدوال ..


ياسين
03-07-2007, 05:22 PM
حدد جميع الدوال f المعرفة من R نحو R التي تحقق
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0294380001183468837.png
و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0935040001183468892.png
لكل xوy من R.

yousuf
11-08-2007, 07:19 PM
مسالة رائعة تستحق التفكير

omar
11-08-2007, 09:02 PM
هناك دالة وحيدة f تحقق الشروط هي الدالة الثابتة

أي f(x)= \frac{1}{2} لكل x من \mathbb R

التفاصيل فيما بعد .

omar
12-08-2007, 05:57 PM
خطوات الحل :

1 - لنبين أن f(a)=\frac{1}{2} .

بوضع x=0 و y=a في العلاقة 1 f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x) نجد أن f(a)=f(0)^2+f(a)^2

وبما أن f(0)=\frac{1}{2} فإن f(a)^2-f(a)+\frac{1}{4}=0 أي (f(a)-\frac{1}{2})^2=0 وبالتالي f(a)=\frac{1}{2} .

2 - لنبين أن لكل x من \mathbb R لدينا f(x)=f(a-x)=f(a+x)=f(-x)

بوضع y=0 في العلاقة f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x) نجد أن f(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a-x)
وبما أن f(a)=f(0)=\frac{1}{2} فإن f(x)=f(x).\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.f(a-x) ومنه f(x)=f(a-x)

لدينا حسب المتساوية الأخيرة f(-x)=f(a+x) وبوضع y=a في العلاقة 1 نجد f(x+a)=f(x)f(0)+f(a)f(a-x)
ومنه f(x+a)=f(x)\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f(a-x)
إذن f(x+a)=f(x)\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f(x)=f(x)
وبالتالي f(-x)=f(x+a)=f(x)

3 - لنبين في الخطوة الأخيرة أن f(x)=\frac{1}{2} لكل x من \mathbb R

حسب العلاقة 1 وبأخد y=-x لدينا f(x-x)=f(x)f(a+x)+f(-x)f(a-x)
إذن f(0)=f(x)^2+f(x)^2=2f(x)^2
ومنه f(x)^2=\frac{1}{2}f(0)=\frac{1}{4}
إذن f(x)=\frac{1}{2} أو f(x)=-\frac{1}{2}
وطبعا f(x)=-\frac{1}{2} لكل x من \mathbb R مرفوض لأنه سيؤدي إلى أن f(0)=-\frac{1}{2}
وبالتالي f(x)=\frac{1}{2} لكل x من \mathbb R .

ياسين
12-08-2007, 06:58 PM
شكرا استاذ _عمر_

jockereda
28-02-2009, 05:33 PM
دائما عند تحديد جميع الدوال نقوم بالوضع؟؟ لأنني لاحظت أنها الطريقة الوحيدة ؟؟

mathson
28-02-2009, 06:00 PM
دائما عند تحديد جميع الدوال نقوم بالوضع؟؟ لأنني لاحظت أنها الطريقة الوحيدة ؟؟

هي الطريقة الأغلب ولكنها ليست الوحيدة.

jockereda
01-03-2009, 12:32 AM
شكرا أ/ Mathson .. من لديه طريقة أخرى تكون أفضل و أسهل فالرجاء إرشادي إليها..لأن طريقة الوضع قد لا نجد بسهولة مادا نضع !!!